Considere uma esfera carregada uniformemente de raio R e carga total Q . O campo elétrico
fora da esfera (
) é simplesmente aquele de uma carga pontual Q .
a) Usando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico Edentro da esfera
é radialmente para fora com módulo
.
b) O potencial elétrico
fora da esfera é aquele de uma carga Q . Encontrar uma expressão para o potencial elétrico vdentro na posição r dentro da esfera. Como uma referência, tome
na superfície da esfera.
c) Qual é a razão vcentro Vsuperficice?
d) Faça um gráfico de V versus r para
.
a) Usando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico Edentro da esfera
b) O potencial elétrico
c) Qual é a razão vcentro Vsuperficice?
d) Faça um gráfico de V versus r para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma esfera com carga distribuída de maneira uniforme, de raio R e carga total Q. O enunciado pede pra gente usar a lei de Gauss, que é uma ferramenta da eletrostática, para determinar o campo elétrico e o potencial elétrico dentro e fora da esfera. Vamos precisar entender como aplicar a lei de Gauss, calcular integrais e garantir que as expressões que encontramos façam sentido fisicamente. Bora resolver passo a passo!
Passo 2
Parte a) Queremos mostrar que o campo elétrico dentro da esfera (onde a distância r ao centro é menor ou igual a R) é radialmente para fora e tem módulo
.
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Aqui,
é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga
é:
Para encontrar o campo elétrico dentro da esfera, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r (
).
A carga dentro dessa superfície é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Então, o campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora e seu módulo é
.
Passo 3
Parte b) Agora, precisamos encontrar uma expressão para o potencial elétrico
na posição r dentro da esfera, sabendo que
é o potencial de uma carga Q e que, na superfície da esfera, os potenciais devem ser iguais.
Sabemos que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Para encontrar
, vamos integrar o campo elétrico que encontramos na parte a).
Integrando:
Simplificando:
Sabemos que fora da esfera, o potencial é:
Na superfície (
):
Substituindo
na expressão de
:
Colocando tudo junto:
Passo 4
Parte c) Queremos encontrar a razão
.
No centro da esfera (
):
Na superfície (
):
Portanto, a razão é:
Passo 5
Parte d) Para plotar
versus
no intervalo
, temos que considerar duas regiões:
-
Dentro da esfera (
): Esta função é uma parábola descentente, começando emquando e diminuindo até quando . -
Fora da esfera (
): Esta função decresce inversamente com r, começando eme aproximando-se de zero conforme r aumenta.
No gráfico, a transição em
deve ser suave, conectando as duas expressões de
.
Resposta
Resumindo:
a) O campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora com módulo
.
b) O potencial elétrico dentro da esfera é
.
c) A razão
é
.
d) O gráfico de
versus
mostra uma parábola descendente dentro da esfera e uma curva decrescente inversamente proporcional fora da esfera, com uma transição suave na superfície
.