Considere uma esfera carregada uniformemente de raio R e carga total Q . O campo elétrico fora da esfera ( ) é simplesmente aquele de uma carga pontual Q .
a) Usando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico Edentro da esfera é radialmente para fora com módulo .
b) O potencial elétrico fora da esfera é aquele de uma carga Q . Encontrar uma expressão para o potencial elétrico vdentro na posição r dentro da esfera. Como uma referência, tome na superfície da esfera.
c) Qual é a razão vcentro Vsuperficice?
d) Faça um gráfico de V versus r para .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma esfera com carga distribuída de maneira uniforme, de raio R e carga total Q. O enunciado pede pra gente usar a lei de Gauss, que é uma ferramenta da eletrostática, para determinar o campo elétrico e o potencial elétrico dentro e fora da esfera. Vamos precisar entender como aplicar a lei de Gauss, calcular integrais e garantir que as expressões que encontramos façam sentido fisicamente. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Parte a) Queremos mostrar que o campo elétrico dentro da esfera (onde a distância r ao centro é menor ou igual a R) é radialmente para fora e tem módulo .
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
Aqui, é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga é:
Para encontrar o campo elétrico dentro da esfera, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r ( ).
A carga dentro dessa superfície é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, o campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora e seu módulo é .

Passo 3

Parte b) Agora, precisamos encontrar uma expressão para o potencial elétrico na posição r dentro da esfera, sabendo que é o potencial de uma carga Q e que, na superfície da esfera, os potenciais devem ser iguais.
Sabemos que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
Para encontrar , vamos integrar o campo elétrico que encontramos na parte a).
Integrando:
Simplificando:
Sabemos que fora da esfera, o potencial é:
Na superfície ( ):
Substituindo na expressão de :
Colocando tudo junto:

Passo 4

Parte c) Queremos encontrar a razão í.
No centro da esfera ( ):
Na superfície ( ):
í
Portanto, a razão é:
í

Passo 5

Parte d) Para plotar versus no intervalo , temos que considerar duas regiões:
  1. Dentro da esfera ( ):
    Esta função é uma parábola descentente, começando em quando e diminuindo até í quando .
  2. Fora da esfera ( ):
    Esta função decresce inversamente com r, começando em í e aproximando-se de zero conforme r aumenta.
No gráfico, a transição em deve ser suave, conectando as duas expressões de .

Resposta

Resumindo:
a) O campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora com módulo .
b) O potencial elétrico dentro da esfera é .
c) A razão í é .
d) O gráfico de versus mostra uma parábola descendente dentro da esfera e uma curva decrescente inversamente proporcional fora da esfera, com uma transição suave na superfície .

Exercícios relacionados

Determine o domínio das funções indicadas abaixo.
Dada , forme as expressões e .
Uma carga negativa de massa existe no plano , no qual duas outras cargas positivas estão posicionadas em e , respectivamente, com .
Dê a expressão para sua aceleração quando ela se encontra no ponto , com .
A série triboelétrica é uma ordenação dos materiais segundo a carga que adquirem quando são atritados uns aos outros. Por exemplo, suponha que três materiais A, B e C apareçam nesta ordem na série triboelétrica: Primeiro o A , depois o B e depois o C . Isto significa que quando atritarmos o material A com o B , o A adquire carga positiva, e o B negativa; quando atritarmos A com o C , o A adquire carga positiva, e o C negativa; e quando atritarmos B com o C , o B adquire carga positiva, e o C negativa. Os experimentos que estebeleceram esta série estão entre os primeiros a estabelecerem que a força entre objetos carregados pode ser atrativa ou repulsiva, e que isto está associado a dois
Imagine uma série de experimentos visando estabelecer a posição relativa na série triboelétrica de 4 materiais: Vidro, teflon, couro e papel. No experimento 1, nós pegamos exemplares dos 4 materiais acima, todos inicialmente neutros (verificamos esta informação observando que inicialmente, nenhum exerce força elétrica em nenhum) e atritamos o vidro contra o papel, e o couro contra o teflon. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o papel, entre o couro e o teflon, entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o couro, e entre o papel e o teflon. Na sequência, nós realizamos o experimento 2. Para isso, nós pegamos outros exemplares dos 4 materiais, inicialmente neutros, e atritamos o vidro contra o couro, e o teflon contra o papel. Após termos feito isso, notamos que existe agora uma força atrativa entre o vidro e o couro, entre o teflon e o papel, entre o vidro e o papel, e entre o couro e o teflon; notamos também que existe uma força repulsiva entre o vidro e o teflon, e entre o papel e o couro. Além disso, notamos que existe uma força atrativa entre o pedaço de vidro usado no experimento 1 e o pedaço de vidro usado no experimento 2 .
Suponha que a carga que o vidro ganhou no primeiro experimento seja positiva. Assumindo a lei de Coulomb, construa a série triboelétrica destes quatro materiais.