Considere uma esfera carregada uniformemente de raio R e carga total Q . O campo elétrico E fora fora da esfera ( r >= R ) é simplesmente aquele de uma carga pontual Q .
a) Usando a lei de Gauss, mostre que o campo elétrico Edentro da esfera (r <= R) é radialmente para fora com módulo Edentro =Qr /(4 pi varepsilon R0 ^3).
b) O potencial elétrico V fora fora da esfera é aquele de uma carga Q . Encontrar uma expressão para o potencial elétrico vdentro na posição r dentro da esfera. Como uma referência, tome vdentro =V fora na superfície da esfera.
c) Qual é a razão vcentro Vsuperficice?
d) Faça um gráfico de V versus r para 0 <= r <= 3 R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma esfera com carga distribuída de maneira uniforme, de raio R e carga total Q. O enunciado pede pra gente usar a lei de Gauss, que é uma ferramenta da eletrostática, para determinar o campo elétrico e o potencial elétrico dentro e fora da esfera. Vamos precisar entender como aplicar a lei de Gauss, calcular integrais e garantir que as expressões que encontramos façam sentido fisicamente. Bora resolver passo a passo!

Passo 2

Parte a) Queremos mostrar que o campo elétrico dentro da esfera (onde a distância r ao centro é menor ou igual a R) é radialmente para fora e tem módulo oint E cdot dA = Qencvarepsilon0 .
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Gauss, que diz:
rho = Q43pi R^3
Aqui, Qenc = rho times 43pi r^3 = Q43pi R^3 times 43pi r^3 = Q (rR)^3 é a carga total dentro da superfície gaussiana.
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, a densidade de carga E times 4pi r^2 = Q (rR)^3varepsilon0 é:
E = Q r4pi varepsilon0 R^3
Para encontrar o campo elétrico dentro da esfera, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r ( ).
A carga dentro dessa superfície é:
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para :
Então, o campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora e seu módulo é .

Passo 3

Parte b) Agora, precisamos encontrar uma expressão para o potencial elétrico V(r) = -integral E cdot dr + constante na posição r dentro da esfera, sabendo que V(r) = -integralR^r Q r'4pi varepsilon0 R^3 dr' + V(R) é o potencial de uma carga Q e que, na superfície da esfera, os potenciais devem ser iguais.
Sabemos que o potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela relação:
V(r) = -Q4pi varepsilon0 R^3 integralR^r r' dr' + V(R)
Para encontrar V(r) = -Q4pi varepsilon0 R^3 [ r'^22 ]R^r + V(R) , vamos integrar o campo elétrico que encontramos na parte a).
V(r) = -Q4pi varepsilon0 R^3 ( r^22 - R^22 ) + V(R)
Integrando:
V(r) = Q8pi varepsilon0 R^3 (R^2 - r^2) + V(R)
Vfora(r) = Q4pi varepsilon0 r
V(R) = Q4pi varepsilon0 R
Simplificando:
V(r) = Q8pi varepsilon0 R^3 (R^2 - r^2) + Q4pi varepsilon0 R
Sabemos que fora da esfera, o potencial é:
Vdentro(r) = Q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 )
Na superfície ( ):
Substituindo na expressão de :
Colocando tudo junto:

Passo 4

Parte c) Queremos encontrar a razão Vcentro = Q4pi varepsilon0 R ( 32 - 0 ) = 3Q8pi varepsilon0 R í.
No centro da esfera ( Vsuperfície = Q4pi varepsilon0 R ):
VcentroVsuperfície = 3Q8pi varepsilon0 RQ4pi varepsilon0 R = 32
Na superfície ( ):
í
Portanto, a razão é:
í

Passo 5

Parte d) Para plotar Vdentro(r) = Q4pi varepsilon0 R ( 32 - r^22R^2 ) versus Vfora(r) = Q4pi varepsilon0 r no intervalo , temos que considerar duas regiões:
  1. Dentro da esfera ( ):
    Esta função é uma parábola descentente, começando em quando e diminuindo até í quando .
  2. Fora da esfera ( ):
    Esta função decresce inversamente com r, começando em í e aproximando-se de zero conforme r aumenta.
No gráfico, a transição em deve ser suave, conectando as duas expressões de .

Resposta

Resumindo:
a) O campo elétrico dentro da esfera é radialmente para fora com módulo .
b) O potencial elétrico dentro da esfera é .
c) A razão í é .
d) O gráfico de versus mostra uma parábola descendente dentro da esfera e uma curva decrescente inversamente proporcional fora da esfera, com uma transição suave na superfície .

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