Considere uma esfera condutora de raio a envolta por duas cascas esféricas condutoras de raios b e c, onde c / 6=b / 5=a. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio c é V e que o espaço entre as cascas esféricas está preenchido por um material de constante dielétrica k, determine: a) o valor de k para que a ddp entre as cascas seja V73 ;

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos para resolver. Temos uma esfera condutora de raio $ a $ rodeada por duas cascas esféricas condutoras com raios $ b $ e $ c $, onde $ c / 6 = b / 5 = a $. A diferença de potencial (ddp) entre a esfera interna e a casca externa de raio $ c $ é $ V $, e o espaço entre as cascas é preenchido por um material com constante dielétrica $ k $. Precisamos encontrar o valor de $ k $ de modo que a ddp entre as cascas seja $ V/73 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática envolvendo capacitores esféricos e como a constante dielétrica afeta a capacitância. Vamos dividir a resolução em etapas fáceis de seguir.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as relações entre os raios das esferas:
Dado que $ c / 6 = b / 5 = a $, podemos expressar $ b $ e $ c $ em termos de $ a $:
c / 6 = b / 5 = a
b

Passo 3

Agora, vamos considerar que temos dois capacitores esféricos:
  1. Capacitor 1: Entre a esfera de raio $ a $ e a casca de raio $ b $.
  2. Capacitor 2: Entre a casca de raio $ b $ e a casca de raio $ c $.
A capacitância de um capacitor esférico é dada por:
a
onde:
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ k $ é a constante dielétrica,
  • $ R_1 $ e $ R_2 $ são os raios das esferas.

Passo 4

Vamos calcular as capacitâncias $ C_1 $ e $ C_2 $:
Para $ C_1 $ (entre $ a $ e $ b $):
C1
Substituindo $ b = 5a $:
C2
Simplificando:
C1
Para $ C_2 $ (entre $ b $ e $ c $):
a
Substituindo $ b = 5a $ e $ c = 6a $:
b

Passo 5

Os dois capacitores estão em série, então a capacitância total $ C_{total} $ é dada por:
Ctotal
Substituindo $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $:
1Ctotal = 1C1 + 1C2
Invertendo para encontrar $ C_{total} $:
C1 = 5pi varepsilon0 k a

Passo 6

Agora, sabemos que a ddp total $ V $ está distribuída entre os dois capacitores. A ddp em cada capacitor é inversamente proporcional à sua capacitância:
V
V1 = V cdot CtotalC2
Mas o problema nos dá que a ddp entre as cascas (que é $ V_2 $) é $ \frac{V}{73} $. Então:
V2 = V cdot CtotalC1
Substituindo $ C_{total} = \frac{24\pi \varepsilon_0 k a}{5} $ e $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $:
V2

Passo 7

Agora, podemos resolver para $ k $:
k
Mas isso não faz sentido direto, o que indica que precisamos revisar nosso raciocínio. Vamos usar a relação das ddps diretamente.
Sabemos que $ V = V_1 + V_2 $ e $ V_2 = \frac{V}{73} $, então $ V_1 = V - \frac{V}{73} = \frac{72V}{73} $.
A relação entre as ddps e as capacitâncias em série é:
2425 = 173
Substituindo $ V_1 = \frac{72V}{73} $ e $ V_2 = \frac{V}{73} $:
V = V1 + V2
Isso implica que:
V2 = V73
Substituindo $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $:
V1 = V - V73 = 72V73
Claramente, há uma inconsistência, o que sugere que a constante dielétrica $ k $ impacta a relação das capacitâncias.

Passo 8

Vamos reavaliar considerando a constante dielétrica afeta ambos os capacitores igualmente. Na verdade, a relação correta é:
V1V2 = C2C1 = 1205 = 24
Mas queremos que $ V_2 = \frac{V}{73} $ então:
V2 = V73
A relação das ddps é:
V1 = V - V2 = 72V73
Para que $ \frac{V_1}{V_2} = 72 $, precisamos ajustar $ k $ de modo que:
V1V2 = 721 = C2C1 = 1205 = 24
Sabemos que $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $, então:
V1V2 = 72
Para que a razão seja 72, precisaríamos alterar a constante dielétrica apenas no $ C_1 $:
k

Resposta

O valor da constante dielétrica $ k $ necessário é $ \frac{1}{3} $.

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