Considere uma esfera condutora de raio
envolta por duas cascas esféricas condutoras de raios
e
, onde
. Sabendo que a ddp entre o condutor e a casca externa de raio
é
e que o espaço entre as cascas esféricas está preenchido por um material de constante dielétrica
, determine: a) o valor de
para que a ddp entre as cascas seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício pede e o que precisamos para resolver. Temos uma esfera condutora de raio $ a $ rodeada por duas cascas esféricas condutoras com raios $ b $ e $ c $, onde $ c / 6 = b / 5 = a $. A diferença de potencial (ddp) entre a esfera interna e a casca externa de raio $ c $ é $ V $, e o espaço entre as cascas é preenchido por um material com constante dielétrica $ k $. Precisamos encontrar o valor de $ k $ de modo que a ddp entre as cascas seja $ V/73 $.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletrostática envolvendo capacitores esféricos e como a constante dielétrica afeta a capacitância. Vamos dividir a resolução em etapas fáceis de seguir.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as relações entre os raios das esferas:
Dado que $ c / 6 = b / 5 = a $, podemos expressar $ b $ e $ c $ em termos de $ a $:
Passo 3
Agora, vamos considerar que temos dois capacitores esféricos:
- Capacitor 1: Entre a esfera de raio $ a $ e a casca de raio $ b $.
- Capacitor 2: Entre a casca de raio $ b $ e a casca de raio $ c $.
A capacitância de um capacitor esférico é dada por:
onde:
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ k $ é a constante dielétrica,
- $ R_1 $ e $ R_2 $ são os raios das esferas.
Passo 4
Vamos calcular as capacitâncias $ C_1 $ e $ C_2 $:
Para $ C_1 $ (entre $ a $ e $ b $):
Substituindo $ b = 5a $:
Simplificando:
Para $ C_2 $ (entre $ b $ e $ c $):
Substituindo $ b = 5a $ e $ c = 6a $:
Passo 5
Os dois capacitores estão em série, então a capacitância total $ C_{total} $ é dada por:
Substituindo $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $:
Invertendo para encontrar $ C_{total} $:
Passo 6
Agora, sabemos que a ddp total $ V $ está distribuída entre os dois capacitores. A ddp em cada capacitor é inversamente proporcional à sua capacitância:
Mas o problema nos dá que a ddp entre as cascas (que é $ V_2 $) é $ \frac{V}{73} $. Então:
Substituindo $ C_{total} = \frac{24\pi \varepsilon_0 k a}{5} $ e $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $:
Passo 7
Agora, podemos resolver para $ k $:
Mas isso não faz sentido direto, o que indica que precisamos revisar nosso raciocínio. Vamos usar a relação das ddps diretamente.
Sabemos que $ V = V_1 + V_2 $ e $ V_2 = \frac{V}{73} $, então $ V_1 = V - \frac{V}{73} = \frac{72V}{73} $.
A relação entre as ddps e as capacitâncias em série é:
Substituindo $ V_1 = \frac{72V}{73} $ e $ V_2 = \frac{V}{73} $:
Isso implica que:
Substituindo $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $:
Claramente, há uma inconsistência, o que sugere que a constante dielétrica $ k $ impacta a relação das capacitâncias.
Passo 8
Vamos reavaliar considerando a constante dielétrica afeta ambos os capacitores igualmente. Na verdade, a relação correta é:
Mas queremos que $ V_2 = \frac{V}{73} $ então:
A relação das ddps é:
Para que $ \frac{V_1}{V_2} = 72 $, precisamos ajustar $ k $ de modo que:
Sabemos que $ C_1 = 5\pi \varepsilon_0 k a $ e $ C_2 = 120\pi \varepsilon_0 k a $, então:
Para que a razão seja 72, precisaríamos alterar a constante dielétrica apenas no $ C_1 $:
Resposta
O valor da constante dielétrica $ k $ necessário é $ \frac{1}{3} $.