Considere uma camada cilíndrica muito longa, maciça, não condutora, de raios interno
e externo
, e com densidade de cargas
, onde
é a distância ao seu eixo de simetria. Calcule o campo elétrico
nas regiões: a)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletrostática juntos! O problema é sobre calcular o campo elétrico $ E® $ em uma camada cilíndrica muito longa, não condutora, com raios internos $ a $ e externos $ b $. A densidade de carga dessa camada é dada por $ \rho = \frac{\alpha}{r^{2}} $. Vamos focar na região onde $ r < a $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_{0} $ (permitividade do vácuo). Em fórmula:
Como estamos lidando com um cilindro muito longo e simétrico, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com a camada, de raio $ r $ e comprimento $ L $.
Passo 3
Agora, precisamos determinar a carga total $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana para $ r < a $. Observa que a camada de carga está distribuída entre $ a $ e $ b $, então para $ r < a $, não há carga dentro da superfície gaussiana. Portanto, $ Q_{enc} = 0 $.
Passo 4
Com $ Q_{enc} = 0 $, a Lei de Gauss fica:
Isso significa que o fluxo elétrico é zero. Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é simétrico e constante na superfície gaussiana, podemos simplificar a integral:
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira, o campo elétrico $ E $ deve ser zero, já que $ 2\pi r L $ é diferente de zero. Portanto:
Resposta
O campo elétrico $ E® $ para $ r < a $ é igual a zero.