Considere uma camada cilíndrica muito longa, maciça, não condutora, de raios interno a e externo b, e com densidade de cargas rho=alpha / r^2, onde r é a distância ao seu eixo de simetria. Calcule o campo elétrico E(r) nas regiões: a) r;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Eletrostática juntos! O problema é sobre calcular o campo elétrico $ E® $ em uma camada cilíndrica muito longa, não condutora, com raios internos $ a $ e externos $ b $. A densidade de carga dessa camada é dada por $ \rho = \frac{\alpha}{r^{2}} $. Vamos focar na região onde $ r < a $. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é super útil para calcular campos elétricos em situações com simetria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a Lei de Gauss nos diz. Ela afirma que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante $ \varepsilon_{0} $ (permitividade do vácuo). Em fórmula:
varepsilon0
Como estamos lidando com um cilindro muito longo e simétrico, vamos escolher uma superfície gaussiana que também seja um cilindro coaxial com a camada, de raio $ r $ e comprimento $ L $.

Passo 3

Agora, precisamos determinar a carga total $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana para $ r < a $. Observa que a camada de carga está distribuída entre $ a $ e $ b $, então para $ r < a $, não há carga dentro da superfície gaussiana. Portanto, $ Q_{enc} = 0 $.

Passo 4

Com $ Q_{enc} = 0 $, a Lei de Gauss fica:
Qenc = 0
Isso significa que o fluxo elétrico é zero. Como o campo elétrico $ \vec{E} $ é simétrico e constante na superfície gaussiana, podemos simplificar a integral:
oint E cdot dA = 0varepsilon0 = 0

Passo 5

Para que essa equação seja verdadeira, o campo elétrico $ E $ deve ser zero, já que $ 2\pi r L $ é diferente de zero. Portanto:
E

Resposta

O campo elétrico $ E® $ para $ r < a $ é igual a zero.

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