Considere uma camada cilíndrica muito longa, maciça, não condutora, de raios interno
e externo
, e com densidade de cargas
, onde
é a distância ao seu eixo de simetria. d) Determine o valor de
, na camada, para o qual o campo elétrico é máximo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma camada cilíndrica bem longa, sem condutividade, com raio interno $ a $ e externo $ b $. Essa camada tem uma densidade de carga que varia com a distância ao centro, dada por $ \rho = \frac{\alpha}{r^{2}} $. O que a gente precisa descobrir é em qual distância $ r $ dentro dessa camada o campo elétrico é maior. Vamos usar conceitos de eletrostática, principalmente a Lei de Gauss, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos ajuda a calcular o campo elétrico $ E $ em situações com simetria, como cilindros, esferas, etc. Para um cilindro, a gente considera uma superfície gaussiana cilíndrica co-central com a camada. A Lei de Gauss diz que:
Onde $ Q_{enc} $ é a carga dentro da superfície gaussiana e $ \varepsilon_{0} $ é a constante de permissividade do vácuo.
Passo 3
Vamos calcular $ Q_{enc} $. A densidade de carga é $ \rho = \frac{\alpha}{r^{2}} $, então a carga em um pequeno volume cilindrico é $ dQ = \rho \cdot dV $. Em coordenadas cilíndricas, o volume $ dV $ é $ 2\pi r L dr $, onde $ L $ é o comprimento do cilindro (que pode ser considerado 1 para simplificar). Assim:
Passo 4
Agora, aplicando a Lei de Gauss:
Simplificando $ L = 1 $:
Para encontrar onde o campo elétrico é máximo, derivamos $ E $ em relação a $ r $ e igualamos a zero:
Isso acontece quando $ 1 - \ln\left(\frac{r}{a}\right) = 0 $, ou seja:
Resposta
O campo elétrico atinge seu valor máximo na distância $ r = a , e $, onde $ e $ é a base dos logaritmos naturais.