Considere uma esfera de raio
com carga total
, distribuida uniformemente em seu volume. Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico
nas seguintes regiões:
a) Dentro da esfera (para
), onde
é a distância do centro da esfera.
a) Dentro da esfera (para
Passo 1
Beleza, vamos resolver este exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. A gente tem uma esfera com raio
e uma carga total
distribuída de forma uniforme no volume da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico
em uma região dentro da esfera, ou seja, para
, onde
é a distância do centro da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo
. A fórmula da Lei de Gauss é:
Passo 3
Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, podemos calcular a densidade de carga volumétrica
. A densidade de carga é a carga total dividida pelo volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
Então, a densidade de carga
é:
Passo 4
Agora, vamos considerar uma superfície gaussiana, que é uma esfera de raio
dentro da esfera carregada (
). Queremos encontrar o campo elétrico
nessa superfície.
Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial. Então, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Passo 5
Precisamos agora encontrar a carga interna
dentro da superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro do raio
é proporcional ao volume da esfera de raio
. Então:
Passo 6
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Resposta
O campo elétrico dentro da esfera para
é dado por:
Onde
é o vetor unitário na direção radial.