Considere uma esfera de raio R=50 cm com carga total Q=8 mu C, distribuida uniformemente em seu volume. Usando a Lei de Gauss, determine o campo elétrico E nas seguintes regiões:
a) Dentro da esfera (para r ), onde r é a distância do centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos resolver este exercício de eletrostática usando a Lei de Gauss. A gente tem uma esfera com raio R = 50 cm e uma carga total Q = 8 mu C distribuída de forma uniforme no volume da esfera. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo elétrico E em uma região dentro da esfera, ou seja, para r < R, onde r é a distância do centro da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo epsilon0. A fórmula da Lei de Gauss é:
ointSuperfície E cdot dA = Qinteriorepsilon0 í

Passo 3

Como a carga está distribuída uniformemente na esfera, podemos calcular a densidade de carga volumétrica rho. A densidade de carga é a carga total dividida pelo volume da esfera. O volume de uma esfera é dado por:
V = 43 pi R^3
Então, a densidade de carga rho é:
rho = QV = Q43 pi R^3 = 3Q4pi R^3

Passo 4

Agora, vamos considerar uma superfície gaussiana, que é uma esfera de raio r dentro da esfera carregada ( r < R). Queremos encontrar o campo elétrico E nessa superfície.
Devido à simetria esférica, o campo elétrico terá a mesma magnitude em todos os pontos da superfície gaussiana e será radial. Então, o fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E cdot 4pi r^2

Passo 5

Precisamos agora encontrar a carga interna Qinterior dentro da superfície gaussiana. Como a carga está distribuída uniformemente, a carga dentro do raio r é proporcional ao volume da esfera de raio r. Então:
Qinterior = rho cdot 43 pi r^3 = 3Q4pi R^3 cdot 43 pi r^3 = Q ( r^3R^3 )

Passo 6

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot 4pi r^2 = Q ( r^3R^3 )epsilon0
Resolvendo para E:
E = Q r4pi epsilon0 R^3

Resposta

O campo elétrico dentro da esfera para r < R é dado por:
E = Q r4pi epsilon0 R^3 r
Onde r é o vetor unitário na direção radial.

Exercícios relacionados