Um objeto cilíndrico contém uma região oca de raio interno
e uma região maciça, não condutora, localizada entre o raio interno
e o raio externo
. A região maciça possui uma densidade volumétrica da cargas não uniforme
que é função da distância radial ra partir do eixo do cilindro:
.
- Determine uma expressão para o módulo do campo elétrico
nas seguintes regiões:
b)
;
b)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos um cilindro com uma região oca de raio interno $ a = 2 , cm $ e uma região maciça entre $ a $ e $ b = 2a $. A densidade de carga nessa região maciça varia com a distância radial $ r $ a partir do eixo do cilindro, dada por $ \rho® = 5 r^{-2} , \muC/m $.
Nosso objetivo é determinar uma expressão para o módulo do campo elétrico $ E® $ na região onde $ a < r < b $. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.
Passo 2
A Lei de Gauss nos diz que:
Aqui, $ Q_{enc} $ é a carga total encerrada pela superfície gaussiana e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro de raio $ r $ e comprimento $ L $, coaxial com o cilindro original.
Passo 3
Primeiro, precisamos calcular a carga total $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana para $ a < r < b $. A densidade de carga é dada por:
Para encontrar $ Q_{enc} $, vamos integrar essa densidade sobre o volume da região entre $ a $ e $ r $:
Aqui, $ r’ $ é a variável de integração que varia de $ a $ a $ r $.
Passo 4
Substituindo $ \rho(r’) $ na integral:
A integral de $ r’^{-1} $ é o logaritmo natural:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
Segundo a Lei de Gauss, isso é igual a $ \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} $. Então:
Passo 6
Resolvendo para $ E® $:
Dividimos os dois lados por $ 2\pi r L $:
Resposta
Portanto, o módulo do campo elétrico na região $ a < r < b $ é: