Um objeto cilíndrico contém uma região oca de raio interno a=2 c m e uma região maciça, não condutora, localizada entre o raio interno a e o raio externo b=2 a. A região maciça possui uma densidade volumétrica da cargas não uniforme rho que é função da distância radial ra partir do eixo do cilindro: rho(r)=5 r^-2 mu C / m.
  • Determine uma expressão para o módulo do campo elétrico E(r) nas seguintes regiões:
    b) a;

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos um cilindro com uma região oca de raio interno $ a = 2 , cm $ e uma região maciça entre $ a $ e $ b = 2a $. A densidade de carga nessa região maciça varia com a distância radial $ r $ a partir do eixo do cilindro, dada por $ \rho® = 5 r^{-2} , \muC/m $.
Nosso objetivo é determinar uma expressão para o módulo do campo elétrico $ E® $ na região onde $ a < r < b $. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos em situações de simetria.

Passo 2

A Lei de Gauss nos diz que:
ointpartial V E cdot dA = Qencvarepsilon0
Aqui, $ Q_{enc} $ é a carga total encerrada pela superfície gaussiana e $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo.
Como estamos lidando com simetria cilíndrica, escolhemos uma superfície gaussiana que é um cilindro de raio $ r $ e comprimento $ L $, coaxial com o cilindro original.

Passo 3

Primeiro, precisamos calcular a carga total $ Q_{enc} $ dentro da superfície gaussiana para $ a < r < b $. A densidade de carga é dada por:
Qenc
Para encontrar $ Q_{enc} $, vamos integrar essa densidade sobre o volume da região entre $ a $ e $ r $:
a < r < b
Aqui, $ r’ $ é a variável de integração que varia de $ a $ a $ r $.

Passo 4

Substituindo $ \rho(r’) $ na integral:
rho(r')
A integral de $ r’^{-1} $ é o logaritmo natural:
Qenc = integrala^r 5 r'^-2 cdot 2pi r' L , dr' = 10pi L integrala^r r'^-1 , dr'

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Gauss:
O fluxo elétrico através da superfície gaussiana é:
oint E cdot dA = E(r) cdot 2pi r L
Segundo a Lei de Gauss, isso é igual a $ \frac{Q_{enc}}{\varepsilon_0} $. Então:
Qencvarepsilon0

Passo 6

Resolvendo para $ E® $:
Dividimos os dois lados por $ 2\pi r L $:
E(r)

Resposta

Portanto, o módulo do campo elétrico na região $ a < r < b $ é:
a < r < b

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