Resolva as questões na folha de resolução. A interpretação das questões faz parte da prova. As respostas (resolução das questões) devem ser justificadas (apresentando todos os cálculos) por meio do conteúdo trabalhado em sala:
Um gás ideal com
, realiza o seguinte ciclo: (1) sofre uma expansão adiabática, aumentando seu volume em
, (2) em seguida sofre uma contração isobárica até o volume inicial e (3) um aquecimento a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule a variação de entropia para cada etapa do ciclo.
Um gás ideal com
Calcule a variação de entropia para cada etapa do ciclo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um ciclo termodinâmico de um gás ideal com
. Esse ciclo tem três etapas:
- Expansão adiabática: o volume aumenta em 50%.
- Contração isobárica: o gás volta ao volume inicial mantendo a pressão constante.
- Aquecimento a volume constante: o gás é aquecido até voltar à temperatura inicial.
Nosso objetivo é calcular a variação de entropia em cada uma dessas etapas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como processos adiabáticos, isobáricos e de volume constante, além das relações das propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Etapa 1: Expansão Adiabática
Primeiro, vamos analisar a expansão adiabática. Em processos adiabáticos, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0
\Delta S $) está relacionada ao calor trocado, pela fórmula:
Como $ Q = 0 $, temos:
Conclusão da Etapa 1: A variação de entropia é zero ($ \Delta S_1 = 0 $).
Passo 3
Etapa 2: Contração Isobárica
Agora, vamos para a contração isobárica, ou seja, com pressão constante. Para calcular a variação de entropia nesse processo, usamos a fórmula para processos a pressão constante:
Onde:
- $ n $ é o número de mols
- $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante
- $ T_f $ e $ T_i $ são as temperaturas final e inicial, respectivamente
Como não temos os valores de $ n $, $ C_p $, e as temperaturas, vamos relacionar as variáveis usando as propriedades dos processos.
Primeiro, na expansão adiabática, sabemos que:
Com $ \gamma = \frac{5}{3} $, temos:
Se o volume aumenta 50%, então $ V_2 = 1,5 V_1 $. Assim:
Dividindo os dois lados por $ V_1^{2/3} $:
Isolando $ T_2 $:
Agora, na contração isobárica, o processo vai de $ V_2 $ (1,5 $ V_1 $) de volta para $ V_1
PV = nRT $) e como $ P $ é constante:
Sabendo que $ V_2 = 1,5 V_1 $:
Substituindo $ T_2 $:
Agora, substituímos na fórmula da entropia:
Simplificando:
Conclusão da Etapa 2: A variação de entropia é $ \Delta S_2 = -n C_p \ln(1,5) $.
Passo 4
Etapa 3: Aquecimento a Volume Constante
Por fim, temos o aquecimento a volume constante até voltar à temperatura inicial. Para processos a volume constante, a variação de entropia é dada por:
Aqui, $ T_f = T_1 $ (temperatura inicial) e $ T_i = T_f $ da etapa anterior, que era $ T_f = (1,5)^{-5/3} T_1 $. Então:
Conclusão da Etapa 3: A variação de entropia é $ \Delta S_3 = n C_v \cdot \frac{5}{3} \ln(1,5) $.
Resposta
As variações de entropia para cada etapa do ciclo são:
- Expansão adiabática: $ \Delta S_1 = 0 $
- Contração isobárica: $ \Delta S_2 = -n C_p \ln(1,5) $
- Aquecimento a volume constante: $ \Delta S_3 = n C_v \cdot \frac{5}{3} \ln(1,5) $