Resolva as questões na folha de resolução. A interpretação das questões faz parte da prova. As respostas (resolução das questões) devem ser justificadas (apresentando todos os cálculos) por meio do conteúdo trabalhado em sala:
Um gás ideal com gamma=5 / 3, realiza o seguinte ciclo: (1) sofre uma expansão adiabática, aumentando seu volume em 50 %, (2) em seguida sofre uma contração isobárica até o volume inicial e (3) um aquecimento a volume constante, até a temperatura inicial.
Calcule a variação de entropia para cada etapa do ciclo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um ciclo termodinâmico de um gás ideal com gamma = 53. Esse ciclo tem três etapas:
  1. Expansão adiabática: o volume aumenta em 50%.
  2. Contração isobárica: o gás volta ao volume inicial mantendo a pressão constante.
  3. Aquecimento a volume constante: o gás é aquecido até voltar à temperatura inicial.
Nosso objetivo é calcular a variação de entropia em cada uma dessas etapas. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica como processos adiabáticos, isobáricos e de volume constante, além das relações das propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Etapa 1: Expansão Adiabática
Primeiro, vamos analisar a expansão adiabática. Em processos adiabáticos, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, $ Q = 0 Q = 0 çã \Delta S $) está relacionada ao calor trocado, pela fórmula:
De
Como $ Q = 0 $, temos:
De
Conclusão da Etapa 1: A variação de entropia é zero ($ \Delta S_1 = 0 $).

Passo 3

Etapa 2: Contração Isobárica
Agora, vamos para a contração isobárica, ou seja, com pressão constante. Para calcular a variação de entropia nesse processo, usamos a fórmula para processos a pressão constante:
De
Onde:
  • $ n $ é o número de mols
  • $ C_p $ é a capacidade calorífica a pressão constante
  • $ T_f $ e $ T_i $ são as temperaturas final e inicial, respectivamente
Como não temos os valores de $ n $, $ C_p $, e as temperaturas, vamos relacionar as variáveis usando as propriedades dos processos.
Primeiro, na expansão adiabática, sabemos que:
n
Com $ \gamma = \frac{5}{3} $, temos:
Cp
Se o volume aumenta 50%, então $ V_2 = 1,5 V_1 $. Assim:
Tf
Dividindo os dois lados por $ V_1^{2/3} $:
Ti
Isolando $ T_2 $:
n
Agora, na contração isobárica, o processo vai de $ V_2 $ (1,5 $ V_1 $) de volta para $ V_1 Cp PV = nRT $) e como $ P $ é constante:
TV^gamma - 1 = constante
Sabendo que $ V_2 = 1,5 V_1 $:
gamma = 53
Substituindo $ T_2 $:
T V^2/3 = constante
Agora, substituímos na fórmula da entropia:
V2 = 1,5 V1
Simplificando:
T2 (1,5 V1)^2/3 = T1 V1^2/3
Conclusão da Etapa 2: A variação de entropia é $ \Delta S_2 = -n C_p \ln(1,5) $.

Passo 4

Etapa 3: Aquecimento a Volume Constante
Por fim, temos o aquecimento a volume constante até voltar à temperatura inicial. Para processos a volume constante, a variação de entropia é dada por:
De
Aqui, $ T_f = T_1 $ (temperatura inicial) e $ T_i = T_f $ da etapa anterior, que era $ T_f = (1,5)^{-5/3} T_1 $. Então:
Tf = T1
Conclusão da Etapa 3: A variação de entropia é $ \Delta S_3 = n C_v \cdot \frac{5}{3} \ln(1,5) $.

Resposta

As variações de entropia para cada etapa do ciclo são:
  1. Expansão adiabática: $ \Delta S_1 = 0 $
  2. Contração isobárica: $ \Delta S_2 = -n C_p \ln(1,5) $
  3. Aquecimento a volume constante: $ \Delta S_3 = n C_v \cdot \frac{5}{3} \ln(1,5) $

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