Prótons, dêuterons (cada qual com carga +e ) e partículas alfa (com carga +2 e ), todos com a mesma energia cinética, entram num campo magnético uniforme B que é perpendicular às respectivas velocidades. Os raios das órbitas circulares que descrevem são rp, rd e ralpha. Admita que malpha=2 md=4 mp e mostre que rd / rp=raiz2 e ralpha / rp=1.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício pede. Temos prótons, deutérios e partículas alfa, cada um com cargas elétricas diferentes, entrando em um campo magnético uniforme que é perpendicular às suas velocidades. Todos têm a mesma energia cinética. Queremos descobrir as relações entre os raios das órbitas circulares que eles descrevem, dado que as massas são relacionadas por . Vamos precisar usar a fórmula do raio da trajetória de uma partícula carregada em um campo magnético.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que relaciona o raio r = m vq B da trajetória circular de uma partícula com carga , massa , velocidade e campo magnético :
Essa fórmula nos mostra como o raio depende da massa, velocidade, carga e intensidade do campo magnético.

Passo 3

Como todos os tipos de partículas têm a mesma energia cinética E = 12 m v^2 , podemos relacionar a velocidade de cada partícula com sua massa. A energia cinética é dada por:
v = raiz2Em
Resolvendo para :
Então, a velocidade de cada partícula depende inversamente da raiz quadrada de sua massa.

Passo 4

Substituindo a expressão de r = m raiz2Emq B = raiz2 E mq B na fórmula do raio:
Podemos ver que o raio depende da raiz quadrada da massa dividida pela carga.

Passo 5

Agora, vamos comparar os raios para os prótons ( malpha = 2 md = 4 mp ), deutérios ( qp = +e, qd = +e, qalpha = +2e ) e partículas alfa ( ). Sabemos que:
E as cargas são:

Passo 6

Vamos calcular a razão rdrp = raiz2 E md / (qd B)raiz2 E mp / (qp B) = raizmdqd cdot qpraizmp = raiz2 mpe cdot eraizmp = raiz2 :
Portanto, .

Passo 7

Agora, vamos calcular a razão ralpharp = raiz2 E malpha / (qalpha B)raiz2 E mp / (qp B) = raiz4 mp2e cdot eraizmp = 2 raizmp2e cdot eraizmp = 1 :
Portanto, .

Resposta

e .

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