Considere o espaço vetorial real (P3(R)) com o produto interno dado por
lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x, p, q in P3(R)
Encontre a projeção do vetor p(x)=1+x+x^2+x^3 sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor q(x)=x^3-x, x in R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem um espaço vetorial de polinômios de até grau 3, P3(R), e um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a projeção do polinômio p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 no subespaço gerado pelo polinômio q(x) = x^3 - x. Para isso, vamos usar a fórmula de projeção em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor p sobre um vetor q num espaço com produto interno. A fórmula é:
projq p = lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= cdot q
Aqui, lang<= p, q rang<= é o produto interno entre p e q, e lang<= q, q rang<= é o produto interno de q consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular lang<= p, q rang<=. Isso significa integrar o produto de p(x) e q(x) de 0 a 1:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 (1 + x + x^2 + x^3)(x^3 - x) , dx
Vamos multiplicar os polinômios:
(1)(x^3) = x^3 (1)(-x) = -x (x)(x^3) = x^4 (x)(-x) = -x^2 (x^2)(x^3) = x^5 (x^2)(-x) = -x^3 (x^3)(x^3) = x^6 (x^3)(-x) = -x^4
Somando tudo:
x^3 - x + x^4 - x^2 + x^5 - x^3 + x^6 - x^4 = -x - x^2 + x^5 + x^6
Agora, integramos cada termo:
integral0^1 (-x) , dx = -12 integral0^1 (-x^2) , dx = -13 integral0^1 x^5 , dx = 16 integral0^1 x^6 , dx = 17
Somando os resultados:
- 12 - 13 + 16 + 17 = -36 - 26 + 16 + 17 = -46 + 17 = -23 + 17 = -1421 + 321 = -1121
Então, lang<= p, q rang<= = -1121.

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<=:
lang<= q, q rang<= = integral0^1 (x^3 - x)^2 , dx
Expandindo o quadrado:
(x^3 - x)^2 = x^6 - 2x^4 + x^2
Integrando cada termo:
integral0^1 x^6 , dx = 17 integral0^1 -2x^4 , dx = -2 cdot 15 = -25 integral0^1 x^2 , dx = 13
Somando os resultados:
17 - 25 + 13 = 15105 - 42105 + 35105 = 15 - 42 + 35105 = 8105
Então, lang<= q, q rang<= = 8105.

Passo 5

Agora que temos lang<= p, q rang<= = -1121 e lang<= q, q rang<= = 8105, vamos calcular a projeção:
projq p = -11218105 cdot (x^3 - x)
Simplificando a fração:
-11218105 = -1121 cdot 1058 = -11 cdot 58 = -558
Então,
projq p = -558 (x^3 - x) = -558 x^3 + 558 x

Resposta

A projeção de p(x) = 1 + x + x^2 + x^3 sobre o subespaço gerado por q(x) = x^3 - x é:
projq p = -558 x^3 + 558 x

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