Considere o espaço vetorial real
com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor
sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem um espaço vetorial de polinômios de até grau 3,
, e um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a projeção do polinômio
no subespaço gerado pelo polinômio
. Para isso, vamos usar a fórmula de projeção em espaços com produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor
sobre um vetor
num espaço com produto interno. A fórmula é:
Aqui,
é o produto interno entre
e
, e
é o produto interno de
consigo mesmo.
Passo 3
Vamos calcular
. Isso significa integrar o produto de
e
de 0 a 1:
Vamos multiplicar os polinômios:
Somando tudo:
Agora, integramos cada termo:
Somando os resultados:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Expandindo o quadrado:
Integrando cada termo:
Somando os resultados:
Então,
.
Passo 5
Agora que temos
e
, vamos calcular a projeção:
Simplificando a fração:
Então,
Resposta
A projeção de
sobre o subespaço gerado por
é: