Considere o espaço vetorial real com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente tem um espaço vetorial de polinômios de até grau 3, , e um produto interno definido por uma integral de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar a projeção do polinômio no subespaço gerado pelo polinômio . Para isso, vamos usar a fórmula de projeção em espaços com produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a projeção de um vetor sobre um vetor num espaço com produto interno. A fórmula é:
Aqui, é o produto interno entre e , e é o produto interno de consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular . Isso significa integrar o produto de e de 0 a 1:
Vamos multiplicar os polinômios:
Somando tudo:
Agora, integramos cada termo:
Somando os resultados:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Expandindo o quadrado:
Integrando cada termo:
Somando os resultados:
Então, .

Passo 5

Agora que temos e , vamos calcular a projeção:
Simplificando a fração:
Então,

Resposta

A projeção de sobre o subespaço gerado por é:

Exercícios relacionados

Determine para que os polinômios e sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em .
i) ;
ii) .
Sejam e . Mostre que é um conjunto ortonormal quando em está definido o produto interno
mas não é um conjunto ortonormal em com o produto interno usual.
Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço .
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de . Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.
Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que