Determine lambda in R para que os polinômios p(x)=x^2-1 e q(x)=lambda x-2 sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em P2(R).
i) lang<= p(x), q(x)rang<==integral-1^1 p(x) q(x) d x;
ii) lang<= p(x), q(x)rang<==p(-1) q(-1)+p(0) q(0)+p(1) q(1)+p(2) q(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de para que os polinômios e sejam ortogonais em dois tipos de produtos internos diferentes. A matéria envolvida aqui é Ortogonalidade de Polinômios e vamos precisar entender como calcular produtos internos, seja através de integrais ou somas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois polinômios serem ortogonais. Dois polinômios e são ortogonais com respeito a um produto interno se .

Passo 3

Vamos resolver a parte i) onde o produto interno é definido como:
lang<= p(x), q(x) rang<= = integral-1^1 p(x) q(x) , dx
Precisamos calcular essa integral e igualar a zero para encontrar .

Passo 4

Vamos substituir lang<= p(x), q(x) rang<= = integral-1^1 (x^2 - 1)(lambda x - 2) , dx e na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
(x^2 - 1)(lambda x - 2) = lambda x^3 - 2x^2 - lambda x + 2
Então, a integral fica:
integral-1^1 (lambda x^3 - 2x^2 - lambda x + 2) , dx

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral-1^1 lambda x^3 , dx = lambda [ x^44 ]-1^1 = lambda ( 14 - 14 ) = 0
integral-1^1 -2x^2 , dx = -2 [ x^33 ]-1^1 = -2 ( 13 - (-13) ) = -2 ( 23 ) = -43
integral-1^1 -lambda x , dx = -lambda [ x^22 ]-1^1 = -lambda ( 12 - 12 ) = 0
integral-1^1 2 , dx = 2 [ x ]-1^1 = 2 (1 - (-1)) = 4

Passo 7

Somando todas as integrais:
0 - 43 + 0 + 4 = 83
Para que 83 = 0 e sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:
Isso não é possível, o que indica que não existe real que satisfaz essa condição para o produto interno definido na parte i).

Passo 8

Agora, vamos para a parte ii), onde o produto interno é definido como:
lang<= p(x), q(x) rang<= = p(-1)q(-1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(2)q(2)
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 9

Calcular p(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0 , p(0) = 0^2 - 1 = -1 , p(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0 e p(2) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 :

Passo 10

Calcular q(-1) = lambda(-1) - 2 = -lambda - 2 , q(0) = lambda(0) - 2 = -2 , q(1) = lambda(1) - 2 = lambda - 2 e q(2) = lambda(2) - 2 = 2lambda - 2 :

Passo 11

Agora, vamos multiplicar os correspondentes:
p(-1)q(-1) = 0 times (-lambda - 2) = 0
p(0)q(0) = (-1) times (-2) = 2
p(1)q(1) = 0 times (lambda - 2) = 0
p(2)q(2) = 3 times (2lambda - 2) = 6lambda - 6

Passo 12

Somar todos os termos para o produto interno:
0 + 2 + 0 + (6lambda - 6) = 6lambda - 4
Para que 6lambda - 4 = 0 e sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:

Passo 13

Resolvendo para 6lambda = 4 implies lambda = 46 = 23 :

Resposta

i) Não existe que torna e ortogonais com respeito ao produto interno .
ii) torna e ortogonais com respeito ao produto interno .

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