Determine para que os polinômios e sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em .
i) ;
ii) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de para que os polinômios e sejam ortogonais em dois tipos de produtos internos diferentes. A matéria envolvida aqui é Ortogonalidade de Polinômios e vamos precisar entender como calcular produtos internos, seja através de integrais ou somas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa dois polinômios serem ortogonais. Dois polinômios e são ortogonais com respeito a um produto interno se .

Passo 3

Vamos resolver a parte i) onde o produto interno é definido como:
Precisamos calcular essa integral e igualar a zero para encontrar .

Passo 4

Vamos substituir e na integral:

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Somando todas as integrais:
Para que e sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:
Isso não é possível, o que indica que não existe real que satisfaz essa condição para o produto interno definido na parte i).

Passo 8

Agora, vamos para a parte ii), onde o produto interno é definido como:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 9

Calcular , , e :

Passo 10

Calcular , , e :

Passo 11

Agora, vamos multiplicar os correspondentes:

Passo 12

Somar todos os termos para o produto interno:
Para que e sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:

Passo 13

Resolvendo para :

Resposta

i) Não existe que torna e ortogonais com respeito ao produto interno .
ii) torna e ortogonais com respeito ao produto interno .

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