Determine
para que os polinômios
e
sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em
.
i)
;
ii)
.
i)
ii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o valor de
para que os polinômios
e
sejam ortogonais em dois tipos de produtos internos diferentes. A matéria envolvida aqui é Ortogonalidade de Polinômios e vamos precisar entender como calcular produtos internos, seja através de integrais ou somas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa dois polinômios serem ortogonais. Dois polinômios
e
são ortogonais com respeito a um produto interno
se
.
Passo 3
Vamos resolver a parte i) onde o produto interno é definido como:
Precisamos calcular essa integral e igualar a zero para encontrar
.
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Somando todas as integrais:
Para que
e
sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:
Isso não é possível, o que indica que não existe
real que satisfaz essa condição para o produto interno definido na parte i).
Passo 8
Agora, vamos para a parte ii), onde o produto interno é definido como:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 9
Calcular
,
,
e
:
Passo 10
Calcular
,
,
e
:
Passo 11
Agora, vamos multiplicar os correspondentes:
Passo 12
Somar todos os termos para o produto interno:
Para que
e
sejam ortogonais, essa soma deve ser igual a zero:
Passo 13
Resolvendo para
:
Resposta
i) Não existe
que torna
e
ortogonais com respeito ao produto interno
.
ii)
torna
e
ortogonais com respeito ao produto interno
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Mostre que
é um conjunto ortonormal quando em
está definido o produto interno
mas não é um conjunto ortonormal em
com o produto interno usual.
Prove que
é um produto interno.
Considere o espaço vetorial real
com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor
sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço
.
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de
. Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.
Seja