Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço .
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de . Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para ortonormalizar a base do espaço vetorial , que são os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Primeiro, vamos conferir se realmente é uma base, ou seja, se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os polinômios , e são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá zero é se todos os coeficientes forem zero. Se supormos que para todo , então necessariamente . Portanto, é realmente uma base de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Primeiro, precisamos definir o produto interno canônico no espaço , que para dois polinômios e é dado por:
Esse produto interno nos permite medir ângulos e comprimentos no espaço vetorial.

Passo 4

O primeiro passo do Gram-Schmidt é pegar o primeiro vetor e normalizá-lo. Nosso primeiro vetor é . Para normalizar, calculamos:
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:

Passo 5

O próximo passo é ortogonalizar o segundo vetor em relação a . Calculamos:
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos :
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal é:

Passo 6

Finalmente, vamos ortogonalizar o terceiro vetor em relação aos vetores e . Primeiro, calculamos a projeção de em :
Depois, a projeção em :
Calculando a integral:
Então:
Agora, o vetor ortogonalizado é:
Finalmente, normalizamos :
Portanto, o terceiro vetor da base ortonormal é:

Resposta

A base ortonormal obtida através do Processo de Gram-Schmidt é:

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Considere o espaço vetorial real com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Determine para que os polinômios e sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em .
i) ;
ii) .
Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que
Verifique se a aplicação dada por é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.