Seja
V=P2(R)=a0+a1 x+a2 x^2: a0, a1, a2 in R
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço C([0,1]).
Seja beta=1, x, x^2 a base (realmente é base? Verifique!) canônica de P2(R). Ortonormalize beta através do Processo de Gram-Schmidt.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para ortonormalizar a base beta = 1, x, x^2 do espaço vetorial P2(R), que são os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Primeiro, vamos conferir se beta realmente é uma base, ou seja, se os vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os polinômios 1, x e x^2 são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá zero é se todos os coeficientes forem zero. Se supormos que a0 cdot 1 + a1 cdot x + a2 cdot x^2 = 0 para todo x, então necessariamente a0 = a1 = a2 = 0. Portanto, beta é realmente uma base de P2(R).

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Primeiro, precisamos definir o produto interno canônico no espaço C([0,1]), que para dois polinômios p e q é dado por:
lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx
Esse produto interno nos permite medir ângulos e comprimentos no espaço vetorial.

Passo 4

O primeiro passo do Gram-Schmidt é pegar o primeiro vetor e normalizá-lo. Nosso primeiro vetor é v1 = 1. Para normalizar, calculamos:
|v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raizintegral0^1 1 cdot 1 , dx = raiz1 = 1
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:
u1 = v1|v1| = 1

Passo 5

O próximo passo é ortogonalizar o segundo vetor v2 = x em relação a u1. Calculamos:
proju1(v2) = lang<= v2, u1 rang<= u1 = ( integral0^1 x cdot 1 , dx ) cdot 1 = ( 12 ) cdot 1 = 12
Então, o vetor ortogonalizado é:
w2 = v2 - proju1(v2) = x - 12
Agora, normalizamos w2:
|w2| = raizlang<= w2, w2 rang<= = raizintegral0^1 (x - 12)^2 , dx = raiz112 = 12raiz3
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal é:
u2 = w2|w2| = 2raiz3 (x - 12) = 2raiz3x - raiz3

Passo 6

Finalmente, vamos ortogonalizar o terceiro vetor v3 = x^2 em relação aos vetores u1 e u2. Primeiro, calculamos a projeção de v3 em u1:
proju1(v3) = lang<= v3, u1 rang<= u1 = ( integral0^1 x^2 cdot 1 , dx ) cdot 1 = ( 13 ) cdot 1 = 13
Depois, a projeção em u2:
proju2(v3) = lang<= v3, u2 rang<= u2 = ( integral0^1 x^2 cdot (2raiz3x - raiz3) , dx ) (2raiz3x - raiz3)
Calculando a integral:
integral0^1 x^2 cdot (2raiz3x - raiz3) , dx = 2raiz3 integral0^1 x^3 , dx - raiz3 integral0^1 x^2 , dx = 2raiz3 cdot 14 - raiz3 cdot 13 = raiz32 - raiz33 = raiz36
Então:
proju2(v3) = raiz36 cdot (2raiz3x - raiz3) = 13(2x - 1)
Agora, o vetor ortogonalizado é:
w3 = v3 - proju1(v3) - proju2(v3) = x^2 - 13 - 13(2x - 1) = x^2 - 23x - 23
Finalmente, normalizamos w3:
|w3| = raizlang<= w3, w3 rang<= = raizintegral0^1 (x^2 - 23x - 23)^2 , dx = raiz845 = 2raiz103raiz2 = 2raiz53
Portanto, o terceiro vetor da base ortonormal é:
u3 = w3|w3| = 32raiz5 (x^2 - 23x - 23) = 3x^2 - 2x - 22raiz5

Resposta

A base ortonormal obtida através do Processo de Gram-Schmidt é:
1, 2raiz3x - raiz3, 3x^2 - 2x - 22raiz5

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