Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço
.
Seja
a base (realmente é base? Verifique!) canônica de
. Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.
Seja
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para ortonormalizar a base
do espaço vetorial
, que são os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. Para isso, vamos usar o Processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortonormal. Primeiro, vamos conferir se
realmente é uma base, ou seja, se os vetores são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se os polinômios
,
e
são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá zero é se todos os coeficientes forem zero. Se supormos que
para todo
, então necessariamente
. Portanto,
é realmente uma base de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Processo de Gram-Schmidt para transformar essa base em uma base ortonormal. Primeiro, precisamos definir o produto interno canônico no espaço
, que para dois polinômios
e
é dado por:
Esse produto interno nos permite medir ângulos e comprimentos no espaço vetorial.
Passo 4
O primeiro passo do Gram-Schmidt é pegar o primeiro vetor e normalizá-lo. Nosso primeiro vetor é
. Para normalizar, calculamos:
Assim, o primeiro vetor da base ortonormal é:
Passo 5
O próximo passo é ortogonalizar o segundo vetor
em relação a
. Calculamos:
Então, o vetor ortogonalizado é:
Agora, normalizamos
:
Portanto, o segundo vetor da base ortonormal é:
Passo 6
Finalmente, vamos ortogonalizar o terceiro vetor
em relação aos vetores
e
. Primeiro, calculamos a projeção de
em
:
Depois, a projeção em
:
Calculando a integral:
Então:
Agora, o vetor ortogonalizado é:
Finalmente, normalizamos
:
Portanto, o terceiro vetor da base ortonormal é:
Resposta
A base ortonormal obtida através do Processo de Gram-Schmidt é:
Exercícios relacionados
Considere o espaço vetorial real
com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor
sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Determine
para que os polinômios
e
sejam ortogonais com respeito aos seguintes produtos internos em
.
i) ;
ii) .
i)
ii)
Calcule o ângulo entre os vetores
e
, onde
são tais que
Verifique se a aplicação
dada por
é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.