Calcule o ângulo entre os vetores e , onde são tais que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular o ângulo entre dois vetores e que têm normais iguais a 1, ou seja, , e a distância entre eles é 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a fórmula do produto interno (ou produto escalar) que relaciona vetores e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula para o comprimento (ou norma) da diferença entre dois vetores e é dada por:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras generalizado para vetores e envolve o produto interno dos vetores.

Passo 3

Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos isolar o produto interno :

Passo 5

Com o produto interno encontrado, podemos usar a relação entre o produto interno e o ângulo entre os vetores:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Sabemos que corresponde a um ângulo de .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

Exercícios relacionados

Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço .
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de . Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.
Considere o espaço vetorial real com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Verifique se a aplicação dada por é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Seja e consideremos a base
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize através do Processo de Gram-Schmidt.