Calcule o ângulo entre os vetores u e v, onde u, v in V são tais que
|u|=|v|=1 e|u-v|=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você precisa calcular o ângulo entre dois vetores e que têm normais iguais a 1, ou seja, , e a distância entre eles é 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a fórmula do produto interno (ou produto escalar) que relaciona vetores e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a fórmula para o comprimento (ou norma) da diferença entre dois vetores |u - v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2 , u cdot v e é dada por:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras generalizado para vetores e envolve o produto interno dos vetores.

Passo 3

Sabemos que 2^2 = 1^2 + 1^2 - 2 , u cdot v e 4 = 1 + 1 - 2 , u cdot v . Vamos substituir esses valores na fórmula:
4 = 2 - 2 , u cdot v

Passo 4

Agora, vamos isolar o produto interno 4 - 2 = -2 , u cdot v :
2 = -2 , u cdot v
u cdot v = -1

Passo 5

Com o produto interno encontrado, podemos usar a relação entre o produto interno e o ângulo u cdot v = |u| , |v| cos(theta) entre os vetores:
-1 = 1 times 1 times cos(theta)
Substituindo os valores conhecidos:
cos(theta) = -1

Passo 6

Sabemos que corresponde a um ângulo de .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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