Calcule o ângulo entre os vetores
e
, onde
são tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você precisa calcular o ângulo entre dois vetores
e
que têm normais iguais a 1, ou seja,
, e a distância entre eles é 2, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especialmente a fórmula do produto interno (ou produto escalar) que relaciona vetores e ângulos entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a fórmula para o comprimento (ou norma) da diferença entre dois vetores
e
é dada por:
Essa fórmula vem do teorema de Pitágoras generalizado para vetores e envolve o produto interno dos vetores.
Passo 3
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos isolar o produto interno
:
Passo 5
Com o produto interno encontrado, podemos usar a relação entre o produto interno e o ângulo
entre os vetores:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Sabemos que
corresponde a um ângulo de
.
Resposta
O ângulo entre os vetores
e
é de
.
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial dos polinomios com coeficientes reais de grau menor que ou igual a 2 , e tomemos sobre ele o produto interno canônico para o espaço
.
Seja a base (realmente é base? Verifique!) canônica de
. Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.
Seja
Considere o espaço vetorial real
com o produto interno dado por
Encontre a projeção do vetor
sobre o subespaço vetorial gerado pelo vetor
Verifique se a aplicação
dada por
é injetora, sobrejetora e bijetora, além de se é uma transformação linear.
Seja
e consideremos a base
(realmente é base? Verifique!). Ortonormalize
através do Processo de Gram-Schmidt.