Considere o espaço vetorial V=(0, infty) com a adição e o produto por escalar em V dados por
x oplus y=x y e alpha odot x=x^alpha
Dado x in V, apresente o inverso aditivo de x (com respeito à adição oplus ). Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço vetorial x oplus y = x cdot y e alpha odot x = x^alpha onde a “adição” e o “produto por escalar” são definidos de um jeito especial:
O objetivo é encontrar o inverso aditivo de um elemento nesse espaço, ou seja, um elemento que, quando “adicionado” a usando a operação , resulte na identidade aditiva desse espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a identidade aditiva nesse espaço. Em espaços vetoriais, a identidade aditiva é o elemento que, quando “adicionado” a qualquer elemento x oplus e = x , não muda o valor de x cdot e = x .
Então, queremos encontrar um elemento tal que:
Substituindo a definição de :
Para que isso seja verdadeiro para todo em , precisa ser o número que, multiplicado por qualquer , deixa inalterado. Esse número é o 1.

Passo 3

Agora que sabemos que a identidade aditiva x oplus y = 1 , queremos encontrar o inverso aditivo de x cdot y = 1 , ou seja, um elemento y = 1x tal que:
Usando a definição de :
Para resolver essa equação para , basta dividir ambos os lados por :

Resposta

O inverso aditivo de é .

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