Considere o espaço vetorial
com a adição e o produto por escalar em
dados por
Dado
, apresente o inverso aditivo de
(com respeito à adição
). Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um espaço vetorial
onde a “adição” e o “produto por escalar” são definidos de um jeito especial:
O objetivo é encontrar o inverso aditivo de um elemento
nesse espaço, ou seja, um elemento que, quando “adicionado” a
usando a operação
, resulte na identidade aditiva desse espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a identidade aditiva nesse espaço. Em espaços vetoriais, a identidade aditiva é o elemento que, quando “adicionado” a qualquer elemento
, não muda o valor de
.
Então, queremos encontrar um elemento
tal que:
Substituindo a definição de
:
Para que isso seja verdadeiro para todo
em
,
precisa ser o número que, multiplicado por qualquer
, deixa
inalterado. Esse número é o 1.
Passo 3
Agora que sabemos que a identidade aditiva
, queremos encontrar o inverso aditivo de
, ou seja, um elemento
tal que:
Usando a definição de
:
Para resolver essa equação para
, basta dividir ambos os lados por
:
Resposta
O inverso aditivo de
é
.