Seja V=R^2. Defina uma operação de adição em V por
(u, v) oplus(x, y)=(u+x+1, v+y+1)
para todo (u, v) e (x, y) em V. Defina uma operação de multiplicação por escalar em V por
alpha odot(x, y)=(alpha x, alpha y)
para todo alpha in R e (x, y) in V. Com essas operações o conjunto V não é um espaço vetorial. Os axiomas de espaço vetorial que não são verificados são __ e _… Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um conjunto e duas operações definidas nele: uma para adicionar vetores e outra para multiplicar um vetor por um escalar. O objetivo é verificar quais dos axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos com essas operações. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e ver como eles se aplicam às operações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que um espaço vetorial precisa obedecer a certos axiomas, como:
  1. Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está no espaço.
  2. Comutatividade da Adição: .
  3. Associatividade da Adição: .
  4. Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero que, somado com qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
  5. Existência de Inversos Adicionais: Para cada vetor, existe um inverso que soma com ele para dar o vetor zero.
  6. Fechamento da Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar está no espaço.
  7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores: .
  8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares: .
  9. Associatividade da Multiplicação por Escalar: .
  10. Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar: .
Vamos analisar quais desses axiomas não estão sendo atendidos com as operações dadas.

Passo 3

Vamos começar verificando o Elemento Neutro da Adição. No espaço vetorial usual, o vetor zero (u, v) oplus (0, 0) = (u + 0 + 1, v + 0 + 1) = (u + 1, v + 1) neq (u, v) é o elemento neutro, ou seja:
Isso mostra que não funciona como elemento neutro para a adição definida, já que adicioná-lo não retorna o vetor original.

Passo 4

Agora, vamos verificar a Associatividade da Adição. Segundo a definição, para três vetores (u oplus v) oplus w = u oplus (v oplus w) :
(u oplus v) oplus w = (u + vx + 1, u + vy + 1) oplus (wx, wy) = (u + vx + 1 + wx + 1, u + vy + 1 + wy + 1) = (u + vx + wx + 2, u + vy + wy + 2)
Calculando cada lado:
u oplus (v oplus w) = u oplus (vx + wx + 1, vy + wy + 1) = (u + vx + wx + 1 + 1, u + vy + wy + 1 + 1) = (u + vx + wx + 2, u + vy + wy + 2)
Já:
Embora neste caso específico pareça que a operação é associativa, na verdade, isso depende de como os vetores são combinados. Contudo, a falta de elemento neutro já é suficiente para concluir que o espaço não é vetorial.

Passo 5

Além disso, como não existe um elemento neutro para a adição, também não existem Inversos Adicionais. Ou seja, não há um vetor que, quando adicionado a , resulte no elemento neutro (que já não existe).

Resposta

Os axiomas que não são verificados são o Elemento Neutro da Adição e a Existência de Inversos Adicionais. Isso ocorre porque a operação de adição definida não possui um vetor zero que mantenha os vetores inalterados ao serem somados, e, consequentemente, não existem vetores inversos que revertam essa adição.

Exercícios relacionados