Seja
. Defina uma operação de adição em
por
para todo
e
em
. Defina uma operação de multiplicação por escalar em
por
para todo
e
. Com essas operações o conjunto
não é um espaço vetorial. Os axiomas de espaço vetorial que não são verificados são __ e _… Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Você tem um conjunto
e duas operações definidas nele: uma para adicionar vetores e outra para multiplicar um vetor por um escalar. O objetivo é verificar quais dos axiomas de espaço vetorial não são satisfeitos com essas operações. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e ver como eles se aplicam às operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que um espaço vetorial precisa obedecer a certos axiomas, como:
- Fechamento da Adição: A soma de dois vetores está no espaço.
- Comutatividade da Adição:
. - Associatividade da Adição:
. - Elemento Neutro da Adição: Existe um vetor zero que, somado com qualquer vetor, retorna o mesmo vetor.
- Existência de Inversos Adicionais: Para cada vetor, existe um inverso que soma com ele para dar o vetor zero.
- Fechamento da Multiplicação por Escalar: A multiplicação de um vetor por um escalar está no espaço.
- Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores:
. - Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares:
. - Associatividade da Multiplicação por Escalar:
. - Elemento Neutro da Multiplicação por Escalar:
.
Vamos analisar quais desses axiomas não estão sendo atendidos com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar verificando o Elemento Neutro da Adição. No espaço vetorial usual, o vetor zero
é o elemento neutro, ou seja:
Isso mostra que
não funciona como elemento neutro para a adição definida, já que adicioná-lo não retorna o vetor original.
Passo 4
Agora, vamos verificar a Associatividade da Adição. Segundo a definição, para três vetores
:
Calculando cada lado:
Já:
Embora neste caso específico pareça que a operação é associativa, na verdade, isso depende de como os vetores são combinados. Contudo, a falta de elemento neutro já é suficiente para concluir que o espaço não é vetorial.
Passo 5
Além disso, como não existe um elemento neutro para a adição, também não existem Inversos Adicionais. Ou seja, não há um vetor que, quando adicionado a
, resulte no elemento neutro (que já não existe).
Resposta
Os axiomas que não são verificados são o Elemento Neutro da Adição e a Existência de Inversos Adicionais. Isso ocorre porque a operação de adição definida não possui um vetor zero que mantenha os vetores inalterados ao serem somados, e, consequentemente, não existem vetores inversos que revertam essa adição.