Seja
definido por
Verifique que
é um subespaço vetorial de
. Justifique sua resposta.
Verifique que
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que o conjunto
, formado por todos os polinômios de grau no máximo 3 que satisfazem
, é um subespaço vetorial do espaço
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a verificar se certos conjuntos são de fato subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
não tá vazio. No mundo dos polinômios, o polinômio zero, que é aquele onde todos os coeficientes são zero, sempre está presente. Vamos ver se ele está em
:
e
, então
. Portanto, o polinômio zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado pra adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer
e
que estão em
, a soma deles
também deve estar em
. Sabemos que
e
. Então,
. Assim,
também satisfaz a condição de estar em
.
Passo 4
Por último, vamos checar a multiplicação por escalar. Se
está em
e
é qualquer número real, então
também deve estar em
. Temos que
. Multiplicando por
, fica
, ou seja,
. Então,
também pertence a
.
Resposta
Como
contém o polinômio zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.