Seja W subset P3 definido por W=p in P3: p(0)=p(1)
Verifique que W é um subespaço vetorial de P3. Justifique sua resposta.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que o conjunto , formado por todos os polinômios de grau no máximo 3 que satisfazem , é um subespaço vetorial do espaço . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear que nos ajudam a verificar se certos conjuntos são de fato subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que não tá vazio. No mundo dos polinômios, o polinômio zero, que é aquele onde todos os coeficientes são zero, sempre está presente. Vamos ver se ele está em : e , então . Portanto, o polinômio zero está em .

Passo 3

Agora, vamos ver se é fechado pra adição. Ou seja, se pegarmos dois polinômios quaisquer e que estão em , a soma deles também deve estar em . Sabemos que e . Então, . Assim, também satisfaz a condição de estar em .

Passo 4

Por último, vamos checar a multiplicação por escalar. Se está em e é qualquer número real, então também deve estar em . Temos que . Multiplicando por , fica , ou seja, . Então, também pertence a .

Resposta

Como contém o polinômio zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, concluímos que é de fato um subespaço vetorial de .

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