Considere o espaço vetorial W=(1, x, y, 6): x, y in R com a adição e o produto por escalar em W dados por
(1, x, y, 6) oplus(1, x^prime, y^prime, 6)=(1, x+x^prime, y+y^prime, 6) e alpha odot(1, x, y, 6)=(1, alpha cdot x, alpha y, 6)
Apresente o vetor nulo (com respeito à adição oplus ) de W justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um espaço vetorial chamado , formado por vetores do tipo , onde e são números reais. A questão nos pede para encontrar o vetor nulo desse espaço vetorial em relação à operação de adição definida no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, como funciona a adição de vetores nesse espaço e o que significa o vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde a gente pode fazer duas operações principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Essas operações precisam seguir certas regras, como a existência de um vetor nulo que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.

Passo 3

O vetor nulo (ou vetor zero) é aquele vetor que, quando somado a qualquer vetor do espaço, resulta no próprio vetor original. Ou seja, se v oplus 0 = v é o vetor nulo e é qualquer vetor em , então:
No nosso caso, vamos chamar o vetor nulo de e queremos encontrar os valores de , , e .

Passo 4

Vamos usar a definição da operação de adição (1, x, y, 6) oplus (1, x', y', 6) = (1, x + x', y + y', 6) que foi dada:
(1, x, y, 6) oplus (a, b, c, d) = (1, x, y, 6)
Queremos que:
(1, x + b, y + c, 6) = (1, x, y, 6)
Seguindo a operação de adição, isso fica:

Passo 5

Agora, vamos igualar cada componente das duas partes:
1 = 1 (primeira componente)
x + b = x (segunda componente)
y + c = y (terceira componente)
6 = 6 (quarta componente)
Das duas primeiras igualdades:
x + b = x Rightarrow b = 0
y + c = y Rightarrow c = 0
As demais igualdades já estão satisfeitas.

Passo 6

Agora, observamos que as componentes e não aparecem nas igualdades acima. Isso porque, segundo a definição da adição , essas componentes são fixas em 1 e 6, respectivamente, e não são afetadas pela operação. Portanto, para que o vetor seja o vetor nulo, deve ser igual a 1 e deve ser igual a 6.

Resposta

O vetor nulo de é .

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