Considere o espaço vetorial
com a adição e o produto por escalar em
dados por
Apresente o vetor nulo (com respeito à adição
) de
justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre um espaço vetorial chamado
, formado por vetores do tipo
, onde
e
são números reais. A questão nos pede para encontrar o vetor nulo desse espaço vetorial em relação à operação de adição
definida no enunciado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um espaço vetorial, como funciona a adição de vetores nesse espaço e o que significa o vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de vetores onde a gente pode fazer duas operações principais: adição de vetores e multiplicação por escalar. Essas operações precisam seguir certas regras, como a existência de um vetor nulo que, quando adicionado a qualquer outro vetor, não muda esse vetor.
Passo 3
O vetor nulo (ou vetor zero) é aquele vetor que, quando somado a qualquer vetor do espaço, resulta no próprio vetor original. Ou seja, se
é o vetor nulo e
é qualquer vetor em
, então:
No nosso caso, vamos chamar o vetor nulo de
e queremos encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 4
Vamos usar a definição da operação de adição
que foi dada:
Queremos que:
Seguindo a operação de adição, isso fica:
Passo 5
Agora, vamos igualar cada componente das duas partes:
Das duas primeiras igualdades:
As demais igualdades já estão satisfeitas.
Passo 6
Agora, observamos que as componentes
e
não aparecem nas igualdades acima. Isso porque, segundo a definição da adição
, essas componentes são fixas em 1 e 6, respectivamente, e não são afetadas pela operação. Portanto, para que o vetor
seja o vetor nulo,
deve ser igual a 1 e
deve ser igual a 6.
Resposta
O vetor nulo de
é
.