Considere o espalhamento Compton onde o fóton de comprimento de onda lambdai é espalhado em um ângulo theta por uma partícula carregada de massa M inicialmente em repouso. Mostre que a energia cinética final da partícula carregada é dada por
K=h c De
onde
De

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fenômeno chamado Espalhamento Compton, onde um fóton com comprimento de onda inicial lambdai bate em uma partícula carregada de massa M que está parada. Depois da colisão, o fóton sai espalhado em um ângulo theta e a partícula ganha energia cinética. Nosso objetivo é mostrar que a energia cinética final dessa partícula é dada pela fórmula:
K=h c De
E também temos que:
De
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica e relatividade, especialmente a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons, além das leis da conservação de energia e momento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da relação de Compton, que descreve como o comprimento de onda do fóton muda após a colisão. A variação no comprimento de onda ( De) é dada por:
De
Aqui, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz, e theta é o ângulo de espalhamento do fóton.

Passo 3

Agora, vamos relacionar essa variação de comprimento de onda com a energia do fóton. A energia de um fóton é dada por:
E = h clambda
Então, a energia inicial do fóton é Ei = h clambdai e a energia final do fóton após o espalhamento é E' = h clambda'.

Passo 4

A energia perdida pelo fóton é ganha pela partícula carregada. Portanto, a energia cinética K da partícula é:
K = Ei - E' = h clambdai - h clambda'
Podemos fatorar h c:
K = h c ( 1lambdai - 1lambda' )

Passo 5

Sabemos que lambda' = lambdai + De. Substituindo isso na expressão de K:
K = h c ( 1lambdai - 1lambdai + De

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
1lambdai - 1lambdai + De

Passo 7

Agora, substituindo de volta na expressão de K:
K = h c cdot De

Resposta

Assim, mostramos que a energia cinética final da partícula carregada é:
K=h c De

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