Considere o espalhamento Compton onde o fóton de comprimento de onda
é espalhado em um ângulo
por uma partícula carregada de massa
inicialmente em repouso. Mostre que a energia cinética final da partícula carregada é dada por
onde
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um fenômeno chamado Espalhamento Compton, onde um fóton com comprimento de onda inicial
bate em uma partícula carregada de massa
que está parada. Depois da colisão, o fóton sai espalhado em um ângulo
e a partícula ganha energia cinética. Nosso objetivo é mostrar que a energia cinética final dessa partícula é dada pela fórmula:
E também temos que:
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de mecânica quântica e relatividade, especialmente a relação entre energia e comprimento de onda dos fótons, além das leis da conservação de energia e momento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da relação de Compton, que descreve como o comprimento de onda do fóton muda após a colisão. A variação no comprimento de onda (
) é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck,
é a velocidade da luz, e
é o ângulo de espalhamento do fóton.
Passo 3
Agora, vamos relacionar essa variação de comprimento de onda com a energia do fóton. A energia de um fóton é dada por:
Então, a energia inicial do fóton é
e a energia final do fóton após o espalhamento é
.
Passo 4
A energia perdida pelo fóton é ganha pela partícula carregada. Portanto, a energia cinética
da partícula é:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão de
:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Passo 7
Agora, substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
Assim, mostramos que a energia cinética final da partícula carregada é: