Considere uma espira retangular com uma corrente
de lados
e
no plano
com as quatro posições dos vértices em (1)
(2)
(3)
(4)
; е os centros de cada fio nas posições
Calcule o campo magnético do dipolo para
. O momento de dipolo magnético é dado por
na normal da área com a direção dada pela regra da mão direita. Mostre que tem a mesma forma do campo elétrico do dipolo elétrico substituindo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o campo magnético de um dipolo. A gente tem uma espira retangular com corrente, e precisamos calcular o campo magnético quando estamos bem longe da espira (ou seja, quando a distância r é muito maior que os lados a e b). Pra isso, vamos usar o conceito de momento de dipolo magnético, que é parecido com o momento de dipolo elétrico. Precisamos entender um pouco sobre campos magnéticos produzidos por correntes e como eles se comportam em regiões distantes da fonte.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de dipolo magnético. Ele é dado por:
Aqui,
é a corrente na espira,
é a área da espira, e
é um vetor normal à área, cujo sentido é determinado pela regra da mão direita (se você enrolar os dedos na direção da corrente, o polegar aponta na direção de
).
Passo 3
No caso de uma espira retangular, a área
é simplesmente o produto dos lados:
Então, o momento de dipolo magnético fica:
Passo 4
Agora, precisamos lembrar como é o campo magnético de um dipolo magnético no espaço distante. A fórmula análoga ao campo elétrico de um dipolo elétrico é:
Onde:
-
é a permeabilidade do vácuo, -
é o vetor posição onde estamos calculando o campo, -
é a distância até esse ponto.
Passo 5
A relação pedida no exercício é mostrar que o campo magnético do dipolo tem a mesma forma do campo elétrico do dipolo elétrico, fazendo as substituições
e
.
A expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico é:
Passo 6
Fazendo as substituições indicadas:
- Substituímos
por , - Substituímos
por .
Assim, a expressão fica:
Resposta
Portanto, mostramos que o campo magnético do dipolo é:
e possui a mesma forma do campo elétrico de um dipolo elétrico, com as substituições
e
.