Considere uma espira retangular com uma corrente i de lados a e b no plano y z com as quatro posições dos vértices em (1) (0,+a2,+b2) ; (2) (0,-a2,+b2) ; (3) (0,-a2,-b2) ; (4) (0,+a2,-b2); е os centros de cada fio nas posições r1=(0,+a2, 0) ; r2=(0,0,+b2) ; r3=(0,-a2, 0) ; r4=(0,0,-b2) ; Calcule o campo magnético do dipolo para r gg a e r gg b. O momento de dipolo magnético é dado por
m=i A n na normal da área com a direção dada pela regra da mão direita. Mostre que tem a mesma forma do campo elétrico do dipolo elétrico substituindo p m e varepsilono 1muo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre o campo magnético de um dipolo. A gente tem uma espira retangular com corrente, e precisamos calcular o campo magnético quando estamos bem longe da espira (ou seja, quando a distância r é muito maior que os lados a e b). Pra isso, vamos usar o conceito de momento de dipolo magnético, que é parecido com o momento de dipolo elétrico. Precisamos entender um pouco sobre campos magnéticos produzidos por correntes e como eles se comportam em regiões distantes da fonte.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o momento de dipolo magnético. Ele é dado por:
m = i cdot A cdot n
Aqui, é a corrente na espira, é a área da espira, e é um vetor normal à área, cujo sentido é determinado pela regra da mão direita (se você enrolar os dedos na direção da corrente, o polegar aponta na direção de ).

Passo 3

No caso de uma espira retangular, a área A = a cdot b é simplesmente o produto dos lados:
m = i cdot a cdot b cdot n
Então, o momento de dipolo magnético fica:

Passo 4

Agora, precisamos lembrar como é o campo magnético de um dipolo magnético no espaço distante. A fórmula análoga ao campo elétrico de um dipolo elétrico é:
B(r) = mu04pi [ 3r(m cdot r)r^5 - mr^3 ]
Onde:
  • é a permeabilidade do vácuo,
  • é o vetor posição onde estamos calculando o campo,
  • é a distância até esse ponto.

Passo 5

A relação pedida no exercício é mostrar que o campo magnético do dipolo tem a mesma forma do campo elétrico do dipolo elétrico, fazendo as substituições E(r) = 14pi varepsilon0 [ 3r(p cdot r)r^5 - pr^3 ] e .
A expressão do campo elétrico de um dipolo elétrico é:

Passo 6

Fazendo as substituições indicadas:
  • Substituímos B(r) = mu04pi [ 3r(m cdot r)r^5 - mr^3 ] por ,
  • Substituímos por .
Assim, a expressão fica:

Resposta

Portanto, mostramos que o campo magnético do dipolo é:
B(r) = mu04pi [ 3r(m cdot r)r^5 - mr^3 ]
e possui a mesma forma do campo elétrico de um dipolo elétrico, com as substituições e .

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