Usando o anel como diferencial calcule o campo elétrico diratamente de um disco sem espessura de raio calcule diretamente o campo elétrico por integração no eixo . Qual a densidade superficial de carga que garante que a carga total do disco seja ? Calcule o potencial diretamente por integração. Verifique que . Mostre que o campo para é igual ao campo de uma placa infinita, incluindo a descontinuidade em . Mostre que para o campo é igual ao campo de uma carga pontual na origem. O potencial elétrico de um plano infinito vai com e diverge (se torna infinito) para . Mas o potencial do disco é bem comportado para . Estime o valor de onde ocorre a transição entre um plano infinito e uma carga pontual.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um disco sem espessura com raio e carga total . Queremos calcular o campo elétrico desse disco no eixo usando integração, descobrir a densidade superficial de carga que faz a carga total ser , calcular o potencial elétrico também por integração, e verificar algumas propriedades do campo elétrico nos casos de e . Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a densidade superficial de carga . Como o disco tem uma área e a carga total é , a densidade superficial de carga é dada por:
Isso nos garante que a carga total do disco seja .
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo devido a um elemento de carga no disco. Para isso, vamos considerar um anel (anel diferencial) com raio e espessura . A área desse anel é , e a carga nesse anel é .
Passo 4
O campo elétrico devido a esse anel no ponto no eixo é dado por:
Aqui, estamos considerando apenas a componente na direção porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.
Passo 5
Agora, vamos integrar de até para encontrar o campo elétrico total no eixo:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver essa integral utilizando uma substituição. Seja , então , o que implica . Alterando os limites de integração:
phi(z) = - sigma2varepsilon0 integral dz + sigma2varepsilon0 integral zraizz^2 + R^2 dz
Integrando:
phi(z) = - sigma2varepsilon0 z + sigma2varepsilon0 raizz^2 + R^2 + C
Como o potencial tende a zero quando , podemos determinar que .
Passo 10
Portanto, o potencial elétrico fica:
phi(z) = sigma2varepsilon0 ( raizz^2 + R^2 - z )
Passo 11
Vamos verificar agora se partial phipartial z = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R^2 - 1 ) = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R^2 - 1 ) . Calculando a derivada de Ez = -partial phipartial z = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) :
Portanto:
Que confirma nossa expressão original para .
Passo 12
Vamos agora analisar os casos limites. Primeiro, para Ez approx sigma2varepsilon0 ( 1 - zR ) approx sigma2varepsilon0 , ou seja, muito menor que . Nesse caso, , então:
Esse é o campo de uma placa infinita, que conhece a descontinuidade em .
Passo 13
Agora, para Ez approx sigma2varepsilon0 ( 1 - zz (1 + R^22z^2) ) approx sigma2varepsilon0 ( 1 - 11 + R^22z^2 ) approx sigma2varepsilon0 cdot R^22z^2 , ou seja, muito maior que Ez approx Q4pi varepsilon0 z^2 . Nesse caso, , então:
Como , substituindo:
Esse é o campo de uma carga pontual na origem.
Passo 14
Por fim, para estimar o valor de sigma2varepsilon0 = Q4pi varepsilon0 z^2 onde ocorre a transição entre os comportamentos de plano infinito e carga pontual, igualamos os campos nos dois extremos:
sigma2varepsilon0 = sigma pi R^24pi varepsilon0 z^2 Rightarrow 12 = R^24 z^2 Rightarrow z = Rraiz2
Como , substituindo:
Então, a transição ocorre aproximadamente quando é igual a .
Resposta
A transição entre o comportamento do campo elétrico de um plano infinito e o de uma carga pontual ocorre aproximadamente quando .