Usando o anel como diferencial calcule o campo elétrico diratamente de um disco sem espessura de raio R calcule diretamente o campo elétrico por integração no eixo z. Qual a densidade superficial de carga sigma=d Qd A que garante que a carga total do disco seja Q ? Calcule o potencial diretamente por integração. Verifique que Ez=-partialpartial z phi(z). Mostre que o campo para z ll é igual ao campo de uma placa infinita, incluindo a descontinuidade em z=0. Mostre que para z>>R o campo é igual ao campo de uma carga pontual Q na origem. O potencial elétrico de um plano infinito vai com phi(z)=phio+sigma2 varepsilono z e diverge (se torna infinito) para |z| infty. Mas o potencial do disco é bem comportado para |z| infty. Estime o valor de z onde ocorre a transição entre um plano infinito e uma carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um disco sem espessura com raio e carga total . Queremos calcular o campo elétrico desse disco no eixo usando integração, descobrir a densidade superficial de carga que faz a carga total ser , calcular o potencial elétrico também por integração, e verificar algumas propriedades do campo elétrico nos casos de e . Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade superficial de carga sigma = QA = Qpi R^2 . Como o disco tem uma área e a carga total é , a densidade superficial de carga é dada por:
Isso nos garante que a carga total do disco seja .

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo devido a um elemento de carga no disco. Para isso, vamos considerar um anel (anel diferencial) com raio e espessura . A área desse anel é , e a carga nesse anel é .

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto dEz = 14pi varepsilon0 dQ z(z^2 + r^2)^3/2 no eixo é dado por:
Aqui, estamos considerando apenas a componente na direção porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.

Passo 5

Agora, vamos integrar Ez = integral0^R 14pi varepsilon0 sigma 2pi r z(z^2 + r^2)^3/2 dr de Ez = sigma z2varepsilon0 integral0^R r(z^2 + r^2)^3/2 dr até para encontrar o campo elétrico total no eixo:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos resolver essa integral utilizando uma substituição. Seja integralz^2^z^2 + R^2 12 u^-3/2 du = 12 [ -2u^-1/2 ]z^2^z^2 + R^2 = -u^-1/2 |z^2^z^2 + R^2 , então , o que implica . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 7

Calculando a diferença:
- (z^2 + R^2)^-1/2 + (z^2)^-1/2 = 1z - 1raizz^2 + R^2
Substituindo de volta na expressão para Ez = sigma z2varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + R^2 ) = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) :

Passo 8

Para encontrar o potencial elétrico phi(z) = - integral Ez dz , usamos a relação:
phi(z) = - integral sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) dz
Substituindo que encontramos:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

A integral se divide em duas partes:
phi(z) = - sigma2varepsilon0 integral dz + sigma2varepsilon0 integral zraizz^2 + R^2 dz
Integrando:
phi(z) = - sigma2varepsilon0 z + sigma2varepsilon0 raizz^2 + R^2 + C
Como o potencial tende a zero quando , podemos determinar que .

Passo 10

Portanto, o potencial elétrico fica:
phi(z) = sigma2varepsilon0 ( raizz^2 + R^2 - z )

Passo 11

Vamos verificar agora se partial phipartial z = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R^2 - 1 ) = sigma2varepsilon0 ( zraizz^2 + R^2 - 1 ) . Calculando a derivada de Ez = -partial phipartial z = sigma2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + R^2 ) :
Portanto:
Que confirma nossa expressão original para .

Passo 12

Vamos agora analisar os casos limites. Primeiro, para Ez approx sigma2varepsilon0 ( 1 - zR ) approx sigma2varepsilon0 , ou seja, muito menor que . Nesse caso, , então:
Esse é o campo de uma placa infinita, que conhece a descontinuidade em .

Passo 13

Agora, para Ez approx sigma2varepsilon0 ( 1 - zz (1 + R^22z^2) ) approx sigma2varepsilon0 ( 1 - 11 + R^22z^2 ) approx sigma2varepsilon0 cdot R^22z^2 , ou seja, muito maior que Ez approx Q4pi varepsilon0 z^2 . Nesse caso, , então:
Como , substituindo:
Esse é o campo de uma carga pontual na origem.

Passo 14

Por fim, para estimar o valor de sigma2varepsilon0 = Q4pi varepsilon0 z^2 onde ocorre a transição entre os comportamentos de plano infinito e carga pontual, igualamos os campos nos dois extremos:
sigma2varepsilon0 = sigma pi R^24pi varepsilon0 z^2 Rightarrow 12 = R^24 z^2 Rightarrow z = Rraiz2
Como , substituindo:
Então, a transição ocorre aproximadamente quando é igual a .

Resposta

A transição entre o comportamento do campo elétrico de um plano infinito e o de uma carga pontual ocorre aproximadamente quando .

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