Usando o anel como diferencial calcule o campo elétrico diratamente de um disco sem espessura de raio calcule diretamente o campo elétrico por integração no eixo . Qual a densidade superficial de carga que garante que a carga total do disco seja ? Calcule o potencial diretamente por integração. Verifique que . Mostre que o campo para é igual ao campo de uma placa infinita, incluindo a descontinuidade em . Mostre que para o campo é igual ao campo de uma carga pontual na origem. O potencial elétrico de um plano infinito vai com e diverge (se torna infinito) para . Mas o potencial do disco é bem comportado para . Estime o valor de onde ocorre a transição entre um plano infinito e uma carga pontual.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos um disco sem espessura com raio e carga total . Queremos calcular o campo elétrico desse disco no eixo usando integração, descobrir a densidade superficial de carga que faz a carga total ser , calcular o potencial elétrico também por integração, e verificar algumas propriedades do campo elétrico nos casos de e . Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de eletrostática, como a lei de Coulomb e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a densidade superficial de carga . Como o disco tem uma área e a carga total é , a densidade superficial de carga é dada por:
Isso nos garante que a carga total do disco seja .

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico no eixo devido a um elemento de carga no disco. Para isso, vamos considerar um anel (anel diferencial) com raio e espessura . A área desse anel é , e a carga nesse anel é .

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto no eixo é dado por:
Aqui, estamos considerando apenas a componente na direção porque as componentes radiais se cancelam simetricamente.

Passo 5

Agora, vamos integrar de até para encontrar o campo elétrico total no eixo:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos resolver essa integral utilizando uma substituição. Seja , então , o que implica . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
A integral fica:

Passo 7

Calculando a diferença:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 8

Para encontrar o potencial elétrico , usamos a relação:
Substituindo que encontramos:
Vamos integrar termo a termo.

Passo 9

A integral se divide em duas partes:
Integrando:
Como o potencial tende a zero quando , podemos determinar que .

Passo 10

Portanto, o potencial elétrico fica:

Passo 11

Vamos verificar agora se . Calculando a derivada de :
Portanto:
Que confirma nossa expressão original para .

Passo 12

Vamos agora analisar os casos limites. Primeiro, para , ou seja, muito menor que . Nesse caso, , então:
Esse é o campo de uma placa infinita, que conhece a descontinuidade em .

Passo 13

Agora, para , ou seja, muito maior que . Nesse caso, , então:
Como , substituindo:
Esse é o campo de uma carga pontual na origem.

Passo 14

Por fim, para estimar o valor de onde ocorre a transição entre os comportamentos de plano infinito e carga pontual, igualamos os campos nos dois extremos:
Como , substituindo:
Então, a transição ocorre aproximadamente quando é igual a .

Resposta

A transição entre o comportamento do campo elétrico de um plano infinito e o de uma carga pontual ocorre aproximadamente quando .

Exercícios relacionados

Combinando a primeira lei da termodinâmica com a definição de entropia ( , ou ) e considerando que para um gás ideal , mostre que a variação de entropia para uma expansão reversível de
um gás ideal onde a temperatura pode variar é dada por
Usando integração diretamente no campo elétrico calcule o campo elétrico de um anel de raio sem espessura no plano e centro na origem no eixo . Qual a densidade linear de carga que garante que a carga total seja ? Usando integração diretamente no potencial calcule o potencial elétrico no eixo . Mostre que o campo elétrico calculado na primeira parte obedece à relação .
Considere uma espira retangular com uma corrente de lados e no plano com as quatro posições dos vértices em (1) (2) (3) (4) ; е os centros de cada fio nas posições Calcule o campo magnético do dipolo para . O momento de dipolo magnético é dado por
na normal da área com a direção dada pela regra da mão direita. Mostre que tem a mesma forma do campo elétrico do dipolo elétrico substituindo e .
Uma amostra contendo 1 mol de um gás ideal monoatômico está inicialmente em equilíbrio a 1 atm de pressão e 300 K . Uma pressão externa constante de 5 atm é aplicada repentinamente, comprimindo o gás irreversivelmente para um estado final de equilíbrio onde a pressão é 5 atm e a temperatura 400 K . Em relação a este processo, usando agora (atm litro)/(mol K):
Considerando o item (a) da questão anterior, calcule a variação de entropia .