Combinando a primeira lei da termodinâmica (d E=d Q+d W) com a definição de entropia ( d S=d Qr e v / T, ou d Qr e v=T d S ) e considerando que para um gás ideal d E=CV d T, mostre que a variação de entropia para uma expansão reversível de
um gás ideal (d W=-P d V=-n R TV d V) onde a temperatura pode variar é dada por
De

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar como a variação de entropia ( De) para uma expansão reversível de um gás ideal pode ser calculada usando a primeira lei da termodinâmica e a definição de entropia. Vamos usar conceitos de energia interna, calor, trabalho e as propriedades dos gases ideais para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar lembrando da primeira lei da termodinâmica, que nos diz que a variação da energia interna ( dE) de um sistema é igual à quantidade de calor adicionada ao sistema ( dQ) menos o trabalho feito pelo sistema ( dW):
dE = dQ - dW
No entanto, no enunciado foi dado com sinais trocados:
dE = dQ + dW

Passo 3

A definição de entropia ( dS) em processos reversíveis é:
dS = dQrevT
Isso significa que o calor reversível ( dQrev) pode ser expresso como:
dQrev = T dS

Passo 4

Para um gás ideal, a variação da energia interna ( dE) está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante ( CV) e a variação da temperatura ( dT):
dE = CV dT

Passo 5

O trabalho reversível feito pelo gás durante a expansão é dado por:
dW = -P dV
E, para um gás ideal, a pressão ( P) pode ser expressa como:
P = nRTV
onde n é o número de mols, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura.

Passo 6

Substituindo a expressão de P no trabalho:
dW = -nRTV dV

Passo 7

Agora, vamos substituir dE, dQrev e dW na primeira lei da termodinâmica:
CV dT = T dS - nRTV dV

Passo 8

Isolando dS:
dS = CVT dT + nRV dV

Passo 9

Para encontrar a variação total de entropia ( De), integramos as duas partes:
De

Passo 10

Resolvendo as integrais:
De

Resposta

A variação de entropia para a expansão reversível do gás ideal é:
De

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