Combinando a primeira lei da termodinâmica com a definição de entropia ( , ou ) e considerando que para um gás ideal , mostre que a variação de entropia para uma expansão reversível de
um gás ideal onde a temperatura pode variar é dada por

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar como a variação de entropia ( ) para uma expansão reversível de um gás ideal pode ser calculada usando a primeira lei da termodinâmica e a definição de entropia. Vamos usar conceitos de energia interna, calor, trabalho e as propriedades dos gases ideais para resolver isso.

Passo 2

Vamos começar lembrando da primeira lei da termodinâmica, que nos diz que a variação da energia interna ( ) de um sistema é igual à quantidade de calor adicionada ao sistema ( ) menos o trabalho feito pelo sistema ( ):
No entanto, no enunciado foi dado com sinais trocados:

Passo 3

A definição de entropia ( ) em processos reversíveis é:
Isso significa que o calor reversível ( ) pode ser expresso como:

Passo 4

Para um gás ideal, a variação da energia interna ( ) está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante ( ) e a variação da temperatura ( ):

Passo 5

O trabalho reversível feito pelo gás durante a expansão é dado por:
E, para um gás ideal, a pressão ( ) pode ser expressa como:
onde é o número de mols, é a constante dos gases ideais e é a temperatura.

Passo 6

Substituindo a expressão de no trabalho:

Passo 7

Agora, vamos substituir , e na primeira lei da termodinâmica:

Passo 8

Isolando :

Passo 9

Para encontrar a variação total de entropia ( ), integramos as duas partes:

Passo 10

Resolvendo as integrais:

Resposta

A variação de entropia para a expansão reversível do gás ideal é:

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