Combinando a primeira lei da termodinâmica
com a definição de entropia (
, ou
) e considerando que para um gás ideal
, mostre que a variação de entropia para uma expansão reversível de
um gás ideal
onde a temperatura pode variar é dada por
um gás ideal
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar como a variação de entropia (
) para uma expansão reversível de um gás ideal pode ser calculada usando a primeira lei da termodinâmica e a definição de entropia. Vamos usar conceitos de energia interna, calor, trabalho e as propriedades dos gases ideais para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar lembrando da primeira lei da termodinâmica, que nos diz que a variação da energia interna (
) de um sistema é igual à quantidade de calor adicionada ao sistema (
) menos o trabalho feito pelo sistema (
):
No entanto, no enunciado foi dado com sinais trocados:
Passo 3
A definição de entropia (
) em processos reversíveis é:
Isso significa que o calor reversível (
) pode ser expresso como:
Passo 4
Para um gás ideal, a variação da energia interna (
) está relacionada com a capacidade calorífica a volume constante (
) e a variação da temperatura (
):
Passo 5
O trabalho reversível feito pelo gás durante a expansão é dado por:
E, para um gás ideal, a pressão (
) pode ser expressa como:
onde
é o número de mols,
é a constante dos gases ideais e
é a temperatura.
Passo 6
Substituindo a expressão de
no trabalho:
Passo 7
Agora, vamos substituir
,
e
na primeira lei da termodinâmica:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Para encontrar a variação total de entropia (
), integramos as duas partes:
Passo 10
Resolvendo as integrais:
Resposta
A variação de entropia para a expansão reversível do gás ideal é: