Considere um estado de deformação de epsilonx=-300(10^-6) ; epsilony=100(10^-6) ; gammaxy=150 (10^-6), determine as deformações principais e a máxima deformação de cisalhamento com sua deformação normal associada. Especifique a orientação dos elementos.

Passo 1

Vamos lá! Temos um estado de deformação com os seguintes valores:
  • Deformação na direção x:
  • Deformação na direção y:
  • Deformação de cisalhamento:
O que queremos encontrar são as deformações principais, a máxima deformação de cisalhamento com sua deformação normal associada e a orientação dos elementos. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente sobre deformações principais e cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as deformações principais. As deformações principais epsilon1,2 = epsilonx + epsilony2 pm raiz( epsilonx - epsilony2 )^2 + ( gammaxy2 )^2 e são os valores máximos e mínimos das deformações na estrutura, e ocorrem em direções específicas onde não há deformação de cisalhamento. A fórmula para encontrar as deformações principais é:

Passo 3

Vamos aplicar os valores fornecidos na fórmula:
epsilon1,2 = -300 times 10^-6 + 100 times 10^-62 pm raiz( -300 times 10^-6 - 100 times 10^-62 )^2 + ( 150 times 10^-62 )^2
Simplificando:
epsilon1,2 = -200 times 10^-62 pm raiz( -400 times 10^-62 )^2 + ( 75 times 10^-6 )^2
epsilon1,2 = -100 times 10^-6 pm raiz( -200 times 10^-6 )^2 + (75 times 10^-6)^2
epsilon1,2 = -100 times 10^-6 pm raiz40,000 times 10^-12 + 5,625 times 10^-12
epsilon1,2 = -100 times 10^-6 pm raiz45,625 times 10^-12
epsilon1,2 = -100 times 10^-6 pm 213.7 times 10^-6
Portanto:
epsilon1 = -100 times 10^-6 + 213.7 times 10^-6 = 113.7 times 10^-6
epsilon2 = -100 times 10^-6 - 213.7 times 10^-6 = -313.7 times 10^-6

Passo 4

Agora, vamos determinar a máxima deformação de cisalhamento. A máxima deformação de cisalhamento gammamax = epsilon1 - epsilon2 é dada por:
gammamax = 113.7 times 10^-6 - (-313.7 times 10^-6) = 427.4 times 10^-6
Substituindo os valores que encontramos:
epsilonm = epsilon1 + epsilon22 = 113.7 times 10^-6 + (-313.7 times 10^-6)2 = -100 times 10^-6
A deformação normal associada à máxima deformação de cisalhamento é a média das deformações principais:

Passo 5

Finalmente, vamos determinar a orientação dos elementos principais. O ângulo tan(2thetap) = gammaxyepsilonx - epsilony que uma direção principal faz com a direção x pode ser encontrado pela fórmula:
tan(2thetap) = 150 times 10^-6-300 times 10^-6 - 100 times 10^-6 = 150-400 = -0.375
Substituindo os valores:
2thetap = arctan(-0.375) approx -20.56^circ
Calculando o ângulo:
thetap approx -10.28^circ
Isso significa que as direções principais estão inclinadas aproximadamente no sentido horário em relação ao eixo x.

Resposta

As deformações principais são e . A máxima deformação de cisalhamento é com uma deformação normal associada de . As direções principais estão orientadas a aproximadamente no sentido horário em relação ao eixo x.

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