Considere um estado de deformação de , determine as deformações principais e a máxima deformação de cisalhamento com sua deformação normal associada. Especifique a orientação dos elementos.

Passo 1

Vamos lá! Temos um estado de deformação com os seguintes valores:
  • Deformação na direção x:
  • Deformação na direção y:
  • Deformação de cisalhamento:
O que queremos encontrar são as deformações principais, a máxima deformação de cisalhamento com sua deformação normal associada e a orientação dos elementos. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica dos sólidos, especificamente sobre deformações principais e cisalhamento.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as deformações principais. As deformações principais e são os valores máximos e mínimos das deformações na estrutura, e ocorrem em direções específicas onde não há deformação de cisalhamento. A fórmula para encontrar as deformações principais é:

Passo 3

Vamos aplicar os valores fornecidos na fórmula:
Simplificando:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos determinar a máxima deformação de cisalhamento. A máxima deformação de cisalhamento é dada por:
Substituindo os valores que encontramos:
A deformação normal associada à máxima deformação de cisalhamento é a média das deformações principais:

Passo 5

Finalmente, vamos determinar a orientação dos elementos principais. O ângulo que uma direção principal faz com a direção x pode ser encontrado pela fórmula:
Substituindo os valores:
Calculando o ângulo:
Isso significa que as direções principais estão inclinadas aproximadamente no sentido horário em relação ao eixo x.

Resposta

As deformações principais são e . A máxima deformação de cisalhamento é com uma deformação normal associada de . As direções principais estão orientadas a aproximadamente no sentido horário em relação ao eixo x.

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