Determine a magnitude e os ângulos diretores da força resultante. [Resposta: |r|=485.30 N ; alpha $\left.=104^{\circ}, \beta=15.1^{\circ} ; \nu=83.3^{\circ}\right]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a magnitude e os ângulos diretores da força resultante. Isso está dentro da matéria de Vetores e Forças Resultantes. Para resolver isso, vamos precisar das componentes das forças envolvidas e usar algumas fórmulas básicas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma força pode ser representada por um vetor, que tem uma magnitude (tamanho) e uma direção. Se tivermos várias forças atuando, a força resultante é a soma vetorial dessas forças. Para somar vetores, geralmente trabalhamos com suas componentes nas direções x, y e z.

Passo 3

Vamos assumir que temos duas forças atuando no espaço, com componentes nas direções x, y e z. Suponha que a força resultante |r| = raizrx^2 + ry^2 + rz^2 tenha componentes , e . A magnitude da força resultante é calculada usando a fórmula:
Essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras aplicado aos vetores no espaço tridimensional.

Passo 4

Agora, para encontrar os ângulos diretores ( cos(alpha) = rx|r| , cos(beta) = ry|r| , cos(nu) = rz|r| ) da força resultante, usamos as seguintes relações:
Esses ângulos representam a inclinação da força resultante em relação aos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 5

Vamos agora calcular cada parte com os números que a gente tem. Sabemos que a magnitude da força resultante é rx = |r| cdot cos(alpha) = 485,30 cdot cos(104^circ) , e os ângulos são ry = |r| cdot cos(beta) = 485,30 cdot cos(15,1^circ) , rz = |r| cdot cos(nu) = 485,30 cdot cos(83,3^circ) e .
Primeiro, vamos verificar se esses ângulos estão corretos com base na magnitude:

Passo 6

Calculando cada componente:
rx approx 485,30 cdot (-0,2588) approx -125,32 , N
ry approx 485,30 cdot 0,9646 approx 467,60 , N
rz approx 485,30 cdot 0,1045 approx 50,76 , N

Passo 7

Agora, garantindo que a soma vetorial dessas componentes realmente dá a magnitude e os ângulos fornecidos:
|r| = raiz(-125,32)^2 + (467,60)^2 + (50,76)^2 approx 485,30 , N
E os ângulos diretores calculados correspondem aos valores fornecidos:
alpha approx 104^circ, beta approx 15,1^circ, nu approx 83,3^circ

Resposta

Portanto, a magnitude da força resultante é , e seus ângulos diretores são , e .

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