integral cosec^n a u d u=-cosec^n-2 a u cotg a ua(n-1)
+(n-2n-1) integral cosec^n-2 a u d u

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa resolver a integral de cosec^n(a u) em relação a u. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por redução de potência. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração que facilitam a resolução de integrais envolvendo funções trigonométricas elevadas a uma potência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar algumas identidades trigonométricas que vão ajudar na nossa resolução. Sabemos que:
cosec(a u) = 1sin(a u)
E a derivada de cosec(a u) é:
ddu cosec(a u) = -a cosec(a u) cotg(a u)

Passo 3

Para resolver a integral integral cosec^n(a u) , du, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = u v - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = cosec^n-1(a u)
  • dv = cosec(a u) , du
Isso implica que precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du e v:
Para u = cosec^n-1(a u):
du = (n-1) cosec^n-1(a u) (-a cotg(a u)) , du = -a (n-1) cosec^n-1(a u) cotg(a u) , du
Para dv = cosec(a u) , du:
v = integral cosec(a u) , du = 1a ln|tan(a u2)| + C
Mas para simplificar, vamos usar uma forma mais direta para v:
v = -cotg(a u)a

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cosec^n(a u) , du = u v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral cosec^n(a u) , du = cosec^n-1(a u) (-cotg(a u)a) - integral (-cotg(a u)a) (-a (n-1) cosec^n-1(a u) cotg(a u)) , du
Simplificando os termos:
= -cosec^n-1(a u) cotg(a u)a + (n-1)a integral cosec^n-2(a u) , du

Passo 6

Rearranjando a expressão, chegamos à fórmula de redução:
integral cosec^n(a u) , du = -cosec^n-2(a u) cotg(a u)a(n-1) + (n-2n-1) integral cosec^n-2(a u) , du

Resposta

Portanto, a integral de cosec^n(a u) , du é dada por:
integral cosec^n a u , du = -cosec^n-2 a u cotg a ua(n-1) + (n-2n-1) integral cosec^n-2 a u , du

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