Considere A e B eventos do mesmo espaço amostral tal que P(A)=0.45 e P(B^c)=0.56. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras?
Escolha uma ou mais:
A e B poderiam ser mutuamente exclusivos.
A probabilidade da união de A e B é menor que 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem dois eventos, e , com e . Precisamos analisar quais das afirmações dadas são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como probabilidade de união de eventos e eventos mutuamente exclusivos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar P(B) = 1 - P(B^c) = 1 - 0.56 = 0.44 . Sabemos que , e como é o complementar de , a soma das probabilidades de e é 1. Então:

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira afirmação: “A e P(A cup B) = P(A) + P(B) = 0.45 + 0.44 = 0.89 poderiam ser mutuamente exclusivos.” Dois eventos são mutuamente exclusivos se eles não podem ocorrer ao mesmo tempo, ou seja, . Vamos verificar se isso é possível com as probabilidades dadas.
Como e , se forem mutuamente exclusivos:
Isso está dentro do limite, já que a probabilidade máxima é 1. Portanto, e podem ser mutuamente exclusivos.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda afirmação: “A probabilidade da união de P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) e P(A cup B) = 0.89 - P(A cap B) é menor que 1.” A probabilidade da união de dois eventos é dada por:
P(A cup B) <= 0.89
Sabemos que e é pelo menos 0 (se forem mutuamente exclusivos) e no máximo o menor valor entre e . Então:
Como , temos:
Logo, é menor que 1.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras:
  1. e poderiam ser mutuamente exclusivos.
  2. A probabilidade da união de e é menor que 1.

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