A probabilidade de um indivíduo X contrair uma doença A é , uma doença B é e uma doença C é . A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é ; com doença B ficar com lesões é e com doença C ficar com lesões é . Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidades de uma pessoa ter certas doenças (A, B ou C) e a chance dela desenvolver lesões se tiver cada uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de que, sabendo que a pessoa tem lesões, essa lesão foi causada pela doença B. A gente vai usar conceitos de probabilidade condicional e o famoso Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as probabilidades que o enunciado nos deu:
  • Probabilidade de ter a doença A:
  • Probabilidade de ter a doença B:
  • Probabilidade de ter a doença C:
Além disso, sabemos as probabilidades de desenvolver lesões se a pessoa tiver cada doença:
  • Se tiver A, a probabilidade de lesão:
  • Se tiver B, a probabilidade de lesão:
  • Se tiver C, a probabilidade de lesão:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B, ou seja, . Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Mas antes de aplicar isso, precisamos calcular , que é a probabilidade total de ter lesões, independentemente da doença. Essa probabilidade é dada pela soma das probabilidades de ter lesões em cada doença multiplicada pela probabilidade de ter cada doença:

Passo 4

Vamos calcular usando os valores que temos:
Calculando cada parte:
Somando tudo:

Passo 5

Agora que sabemos , podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B é .

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