A probabilidade de um indivíduo X contrair uma doença A é
, uma doença B é
e uma doença C é
. A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é
; com doença B ficar com lesões é
e com doença C ficar com lesões é
. Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidades de uma pessoa ter certas doenças (A, B ou C) e a chance dela desenvolver lesões se tiver cada uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de que, sabendo que a pessoa tem lesões, essa lesão foi causada pela doença B. A gente vai usar conceitos de probabilidade condicional e o famoso Teorema de Bayes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as probabilidades que o enunciado nos deu:
- Probabilidade de ter a doença A:
- Probabilidade de ter a doença B:
- Probabilidade de ter a doença C:
Além disso, sabemos as probabilidades de desenvolver lesões se a pessoa tiver cada doença:
- Se tiver A, a probabilidade de lesão:
- Se tiver B, a probabilidade de lesão:
- Se tiver C, a probabilidade de lesão:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B, ou seja,
. Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
Mas antes de aplicar isso, precisamos calcular
, que é a probabilidade total de ter lesões, independentemente da doença. Essa probabilidade é dada pela soma das probabilidades de ter lesões em cada doença multiplicada pela probabilidade de ter cada doença:
Passo 4
Vamos calcular
usando os valores que temos:
Calculando cada parte:
Somando tudo:
Passo 5
Agora que sabemos
, podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar
:
Resposta
A probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B é
.