A probabilidade de um indivíduo X contrair uma doença A é 34, uma doença B é 16 e uma doença C é 120. A probabilidade do indivíduo com doença A ficar com lesões é 110; com doença B ficar com lesões é 35 e com doença C ficar com lesões é 310. Foi encontrado lesão no indivíduo X. Qual a probabilidade de que tenha sido causado pela doença B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidades de uma pessoa ter certas doenças (A, B ou C) e a chance dela desenvolver lesões se tiver cada uma dessas doenças. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de que, sabendo que a pessoa tem lesões, essa lesão foi causada pela doença B. A gente vai usar conceitos de probabilidade condicional e o famoso Teorema de Bayes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as probabilidades que o enunciado nos deu:
  • Probabilidade de ter a doença A:
  • Probabilidade de ter a doença B:
  • Probabilidade de ter a doença C:
Além disso, sabemos as probabilidades de desenvolver lesões se a pessoa tiver cada doença:
  • Se tiver A, a probabilidade de lesão:
  • Se tiver B, a probabilidade de lesão:
  • Se tiver C, a probabilidade de lesão:

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B, ou seja, P(B|L) = P(L|B) cdot P(B)P(L) . Para isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que diz:
P(L) = P(L|A) cdot P(A) + P(L|B) cdot P(B) + P(L|C) cdot P(C)
Mas antes de aplicar isso, precisamos calcular , que é a probabilidade total de ter lesões, independentemente da doença. Essa probabilidade é dada pela soma das probabilidades de ter lesões em cada doença multiplicada pela probabilidade de ter cada doença:

Passo 4

Vamos calcular P(L) = ( 110 times 34 ) + ( 35 times 16 ) + ( 310 times 120 ) usando os valores que temos:
110 times 34 = 340
Calculando cada parte:
35 times 16 = 330 = 110
310 times 120 = 3200
P(L) = 340 + 110 + 3200 = 15200 + 20200 + 3200 = 38200 = 19100
Somando tudo:

Passo 5

Agora que sabemos P(B|L) = P(L|B) cdot P(B)P(L) = 35 times 1619100 = 33019100 = 11019100 = 110 times 10019 = 1019 , podemos voltar ao Teorema de Bayes para encontrar :

Resposta

A probabilidade de que a lesão tenha sido causada pela doença B é .

Exercícios relacionados