Considere o exemplo do ciclóide, discutido em sala. As equações acopladas de movimento são dadas por
& ddoty=omega dotz, & ddotz=omega(EB-doty)
Mostre que as expressões
& y(t)=C1 cos omega t+C2 sin omega t+(E / B) t+C3 & z(t)=C2 cos omega t-C1 sin omega t+C4
são soluções das equações desacopladas que foram obtidas em a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o exemplo do ciclóide e nos dá duas equações de movimento acopladas:
& ddoty = omega dotz, & ddotz = omega(EB - doty)
Nos pedem para mostrar que as funções
& y(t) = C1 cos omega t + C2 sin omega t + (EB) t + C3, & z(t) = C2 cos omega t - C1 sin omega t + C4
são soluções para essas equações. Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial básico, especialmente derivadas de funções trigonométricas e lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções $ y(t) $ e $ z(t) $ que nos foram dadas. Vamos precisar da primeira e segunda derivadas em relação ao tempo $ t $.
Para $ y(t) $:
y(t)
Primeira derivada ($ \dot{y}(t) $):
z(t)
Segunda derivada ($ \ddot{y}(t) $):
t
Para $ z(t) $:
y(t)
Primeira derivada ($ \dot{z}(t) $):
y(t) = C1 cos omega t + C2 sin omega t + (EB) t + C3
Segunda derivada ($ \ddot{z}(t) $):
doty(t)

Passo 3

Agora, vamos substituir essas derivadas nas equações de movimento dadas para verificar se as funções $ y(t) $ e $ z(t) $ as satisfazem.
Primeira equação:
y(t)
Substituindo:
z(t)
Simplificando o lado direito:
ddoty = omega dotz
Percebemos que ambos os lados são iguais:
- C1 omega^2 cos omega t - C2 omega^2 sin omega t = omega ( -C2 omega sin omega t - C1 omega cos omega t )
Então, a primeira equação está satisfeita.

Passo 4

Vamos verificar a segunda equação:
ddotz = omega(EB - doty)
Substituindo as derivadas:
- C2 omega^2 cos omega t + C1 omega^2 sin omega t = omega ( EB - ( -C1 omega sin omega t + C2 omega cos omega t + EB ) )
Vamos simplificar o lado direito passo a passo:
Dentro do parêntese:
EB - ( -C1 omega sin omega t + C2 omega cos omega t + EB ) = EB + C1 omega sin omega t - C2 omega cos omega t - EB
Os termos $ \frac{E}{B} $ se cancelam:
EB
Multiplicando por $ \omega $:
C1 omega sin omega t - C2 omega cos omega t
Comparando com o lado esquerdo:
omega
Eles são iguais, então a segunda equação também está satisfeita.

Resposta

As funções $ y(t) $ e $ z(t) $ fornecidas satisfazem as equações de movimento acopladas do ciclóide, confirmando que são soluções das equações desacopladas.

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