Considere o exemplo do ciclóide, discutido em sala. As equações acopladas de movimento são dadas por
Mostre que as expressões
são soluções das equações desacopladas que foram obtidas em a).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o exemplo do ciclóide e nos dá duas equações de movimento acopladas:
Nos pedem para mostrar que as funções
são soluções para essas equações. Para resolver isso, vamos precisar de cálculo diferencial básico, especialmente derivadas de funções trigonométricas e lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas das funções $ y(t) $ e $ z(t) $ que nos foram dadas. Vamos precisar da primeira e segunda derivadas em relação ao tempo $ t $.
Para $ y(t) $:
Primeira derivada ($ \dot{y}(t) $):
Segunda derivada ($ \ddot{y}(t) $):
Para $ z(t) $:
Primeira derivada ($ \dot{z}(t) $):
Segunda derivada ($ \ddot{z}(t) $):
Passo 3
Agora, vamos substituir essas derivadas nas equações de movimento dadas para verificar se as funções $ y(t) $ e $ z(t) $ as satisfazem.
Primeira equação:
Substituindo:
Simplificando o lado direito:
Percebemos que ambos os lados são iguais:
Então, a primeira equação está satisfeita.
Passo 4
Vamos verificar a segunda equação:
Substituindo as derivadas:
Vamos simplificar o lado direito passo a passo:
Dentro do parêntese:
Os termos $ \frac{E}{B} $ se cancelam:
Multiplicando por $ \omega $:
Comparando com o lado esquerdo:
Eles são iguais, então a segunda equação também está satisfeita.
Resposta
As funções $ y(t) $ e $ z(t) $ fornecidas satisfazem as equações de movimento acopladas do ciclóide, confirmando que são soluções das equações desacopladas.