Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e Q indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória X : número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
a) Encontre o espaço amostral associado à v.a. X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre lançar um dado honesto até sair a face 5 pela primeira vez. A variável aleatória representa o número de lançamentos necessários para isso acontecer. O conteúdo aqui é de espécies de variáveis aleatórias discretas e espaço amostral. Para resolver, precisamos entender todos os possíveis resultados que pode assumir nesse experimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o espaço amostral. O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. No nosso caso, cada resultado consiste em uma sequência de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
Como estamos lidando com um dado honesto, cada face tem igual probabilidade de sair: 1 a 6. Mas, como estamos parando quando aparece o 5 pela primeira vez, queremos listar todas as possíveis sequências de lançamentos onde o 5 aparece pela primeira vez no -ésimo lançamento.

Passo 3

Vamos pensar passo a passo:
  • Se o 5 aparece no primeiro lançamento, .
  • Se não aparece no primeiro, mas aparece no segundo, .
  • Se não aparece nos dois primeiros, mas aparece no terceiro, .
  • E assim por diante.
Então, cada valor de corresponde a uma sequência onde os primeiros lançamentos não são 5, e o -ésimo lançamento é 5.

Passo 4

Agora, vamos expressar isso formalmente. O espaço amostral S = 1, 2, 3, 4, dots para será o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Como não há limite para o número de lançamentos, pode ser qualquer número natural a partir de 1.
Então, temos:

Resposta

O espaço amostral associado à variável aleatória é .

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