Uma moeda viciada, tal que P( cara )=2 P (coroa), é lançada quatro vezes. Seja Y o número de caras obtidas.
b) Calcule E(Y) e Var(Y).

Passo 1

Então, a gente tem uma moeda que não é normal, sabe? A probabilidade de dar cara é o dobro da de dar coroa. A moeda vai ser lançada quatro vezes, e queremos saber quantas caras (Y) vamos conseguir, além da expectativa desse número e da variância. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos eventos que podem só dar dois resultados (como cara ou coroa).

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir as probabilidades individuais de dar cara e coroa. Sabemos que:
P(cara) = 2 times P(coroa)
E como as probabilidades precisam somar 1, temos:
P(cara) + P(coroa) = 1
Substituindo a primeira equação na segunda:
2P(coroa) + P(coroa) = 1
3P(coroa) = 1
P(coroa) = 13
Então:
P(cara) = 2 times 13 = 23

Passo 3

Agora, vamos modelar o número de caras em quatro lançamentos. Como cada lançamento é independente e a probabilidade de dar cara é sempre Y sim Binomial(n=4, p=23) , podemos usar a distribuição binomial. A variável aleatória que representa o número de caras segue:

Passo 4

Para encontrar a expectativa de E(Y) = n times p , usamos a fórmula da média da distribuição binomial:
E(Y) = 4 times 23 = 83
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular a variância de Var(Y) = n times p times (1 - p) . A fórmula da variância na distribuição binomial é:
Var(Y) = 4 times 23 times (1 - 23) = 4 times 23 times 13 = 89
Substituindo os valores:

Resposta

A expectativa de é e a variância de é .

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