Uma moeda viciada, tal que
cara
(coroa), é lançada quatro vezes. Seja
o número de caras obtidas.
b) Calcule
e
.
b) Calcule
Passo 1
Então, a gente tem uma moeda que não é normal, sabe? A probabilidade de dar cara é o dobro da de dar coroa. A moeda vai ser lançada quatro vezes, e queremos saber quantas caras (Y) vamos conseguir, além da expectativa desse número e da variância. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de probabilidade e usar a distribuição binomial, que é perfeita para situações onde temos eventos que podem só dar dois resultados (como cara ou coroa).
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir as probabilidades individuais de dar cara e coroa. Sabemos que:
E como as probabilidades precisam somar 1, temos:
Substituindo a primeira equação na segunda:
Então:
Passo 3
Agora, vamos modelar o número de caras em quatro lançamentos. Como cada lançamento é independente e a probabilidade de dar cara é sempre
, podemos usar a distribuição binomial. A variável aleatória
que representa o número de caras segue:
Passo 4
Para encontrar a expectativa de
, usamos a fórmula da média da distribuição binomial:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular a variância de
. A fórmula da variância na distribuição binomial é:
Substituindo os valores:
Resposta
A expectativa de
é
e a variância de
é
.