Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória : número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
c) Calcule a probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que ocorra a face 5 pela primeira vez.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dado honesto, ou seja, com 6 faces igualmente prováveis. Queremos saber a probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que a face 5 apareça pela primeira vez. Estamos trabalhando com probabilidade binomial e variáveis aleatórias discretas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória como o número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez. Como cada lançamento é independente, a probabilidade de sucesso (obter a face 5) em cada tentativa é e a probabilidade de insucesso (não obter a face 5) é .

Passo 3

Queremos que o primeiro sucesso (face 5) ocorra após pelo menos 2 lançamentos, ou seja, no mínimo no 3º lançamento. Isso significa que nos dois primeiros lançamentos, não deve aparecer a face 5, e no 3º ou depois sim.

Passo 4

A probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos é a probabilidade complementar de obter a face 5 nos primeiros dois lançamentos. Matematicamente, isso pode ser representado como:

Passo 5

Vamos calcular e .
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:

Passo 7

Finalmente, calculamos a probabilidade desejada:

Resposta

A probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que a face 5 apareça pela primeira vez é .

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Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória : número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
b) Obtenha a função de probabilidade (f.p.) da v.a. .
Neste contexto, assinale o que for correto.
  1. A média aritmética é maior que 5,0.
  2. dos alunos tiraram notas maiores que 6.
  3. dos alunos tiraram notas menores que 5.
  4. A média harmônica é menor que a média aritmética.
Quais dos seguintes eventos são mutuamente exclusivos?
e) Nadar / sentir frio
O tempo , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte função de probabilidade.
2 3 4 5 6 7
0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1
a) Calcule o tempo médio de processamento.