Considere o experimento aleatório que consiste em lançar um dado honesto até que a face 5 apareça pela primeira vez. Suponha que 5 indique o aparecimento da face 5 e Q indique que apareceu outra face qualquer diferente da 5 . Considere que os lançamentos sejam independentes e defina a variável aleatória X : número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez.
c) Calcule a probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que ocorra a face 5 pela primeira vez.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dado honesto, ou seja, com 6 faces igualmente prováveis. Queremos saber a probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que a face 5 apareça pela primeira vez. Estamos trabalhando com probabilidade binomial e variáveis aleatórias discretas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a variável aleatória como o número de lançamentos até que a face 5 apareça pela primeira vez. Como cada lançamento é independente, a probabilidade de sucesso (obter a face 5) em cada tentativa é e a probabilidade de insucesso (não obter a face 5) é .

Passo 3

Queremos que o primeiro sucesso (face 5) ocorra após pelo menos 2 lançamentos, ou seja, no mínimo no 3º lançamento. Isso significa que nos dois primeiros lançamentos, não deve aparecer a face 5, e no 3º ou depois sim.

Passo 4

A probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos é a probabilidade complementar de obter a face 5 nos primeiros dois lançamentos. Matematicamente, isso pode ser representado como:
P(X >= 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - [P(X = 1) + P(X = 2)]

Passo 5

Vamos calcular P(X = 1) = p = 16 e P(X = 2) = q times p = 56 times 16 = 536 .
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Agora, somamos essas probabilidades:
P(X < 3) = P(X = 1) + P(X = 2) = 16 + 536 = 636 + 536 = 1136

Passo 7

Finalmente, calculamos a probabilidade desejada:
P(X >= 3) = 1 - 1136 = 2536

Resposta

A probabilidade de que sejam necessários no mínimo 3 lançamentos para que a face 5 apareça pela primeira vez é .

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