Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Dados:
\Omega = espaço amostral }=>\Omega={1,2,3,4,5,6
I = {2,4,6} II = {5,6} III = {3,6}
I }\cap\mathrm{ II = {6} II }\cap\mathrm{ III = {6}
Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
b) II e III são eventos independentes?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um dado perfeito, ou seja, todas as seis faces têm a mesma probabilidade de sair. O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os eventos são definidos da seguinte forma:
  • II = {5, 6}
  • III = {3, 6}
Queremos saber se os eventos II e III são independentes.

Passo 2

Para verificar se dois eventos são independentes, precisamos usar a definição de independência: dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de A e B ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de A ocorrer e de B ocorrer. Matematicamente, isso é expresso como:
P(A cap B) = P(A) times P(B)

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
Primeiro, a probabilidade do evento II:
II = 5, 6
Como há 2 resultados possíveis em um dado de 6 faces, a probabilidade é:
P(II) = 26 = 13

Passo 4

Agora, a probabilidade do evento III:
III = 3, 6
Também há 2 resultados possíveis, então:
P(III) = 26 = 13

Passo 5

Em seguida, vamos encontrar a interseção dos eventos II e III:
II cap III = 6
Há apenas 1 resultado comum, então:
P(II cap III) = 16

Passo 6

Agora, vamos calcular o produto das probabilidades de II e III:
P(II) times P(III) = 13 times 13 = 19

Passo 7

Comparando as duas probabilidades:
P(II cap III) = 16
P(II) times P(III) = 19
Como , concluímos que a igualdade não se sustenta.

Resposta

Os eventos II e III não são independentes.

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