Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Dados:
\Omega = espaço amostral }=>\Omega={1,2,3,4,5,6
I = {2,4,6} II = {5,6} III = {3,6}
I }\cap\mathrm{ II = {6} II }\cap\mathrm{ III = {6}
Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
b) II e III são eventos independentes?
\Omega = espaço amostral }=>\Omega={1,2,3,4,5,6
I = {2,4,6} II = {5,6} III = {3,6}
I }\cap\mathrm{ II = {6} II }\cap\mathrm{ III = {6}
Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
b) II e III são eventos independentes?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um dado perfeito, ou seja, todas as seis faces têm a mesma probabilidade de sair. O espaço amostral é Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Os eventos são definidos da seguinte forma:
- II = {5, 6}
- III = {3, 6}
Queremos saber se os eventos II e III são independentes.
Passo 2
Para verificar se dois eventos são independentes, precisamos usar a definição de independência: dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de A e B ocorrerem juntos é igual ao produto das probabilidades de A ocorrer e de B ocorrer. Matematicamente, isso é expresso como:
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
Primeiro, a probabilidade do evento II:
Como há 2 resultados possíveis em um dado de 6 faces, a probabilidade é:
Passo 4
Agora, a probabilidade do evento III:
Também há 2 resultados possíveis, então:
Passo 5
Em seguida, vamos encontrar a interseção dos eventos II e III:
Há apenas 1 resultado comum, então:
Passo 6
Agora, vamos calcular o produto das probabilidades de II e III:
Passo 7
Comparando as duas probabilidades:
Como
, concluímos que a igualdade não se sustenta.
Resposta
Os eventos II e III não são independentes.