Considere o experimento que consiste no lançamento de um dado perfeito (todas as seis faces têm probabilidades iguais). Dados:
\Omega = espaço amostral }=>\Omega={1,2,3,4,5,6
I = {2,4,6} II = {5,6} III = {3,6}
I }\cap\mathrm{ II = {6} II }\cap\mathrm{ III = {6}
Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
a) I e II são eventos independentes?
\Omega = espaço amostral }=>\Omega={1,2,3,4,5,6
I = {2,4,6} II = {5,6} III = {3,6}
I }\cap\mathrm{ II = {6} II }\cap\mathrm{ III = {6}
Com relação a esse experimento, considere os seguintes eventos:
a) I e II são eventos independentes?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem um dado perfeito, ou seja, todas as seis faces têm a mesma chance de sair. O espaço amostral, que é tudo que pode acontecer, é
.
Temos dois eventos:
- Evento I:
- Evento II:
A pergunta é: "I e II são eventos independentes?"
Pra resolver isso, precisamos entender o que são eventos independentes. Eventos independentes são aqueles em que a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro acontecer. Matematicamente, isso significa que:
Então, vamos calcular cada uma dessas probabilidades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a probabilidade do Evento I,
.
O Evento I tem os números
, então são 3 possíveis resultados.
Como o dado é perfeito, a probabilidade de cada número sair é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade do Evento II,
.
O Evento II tem os números
, ou seja, 2 possíveis resultados.
Assim, temos:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de ambos os eventos I e II ocorrerem ao mesmo tempo, ou seja,
.
Olha só, os dois eventos têm em comum apenas o número 6. Então, só há 1 resultado que favorece ambos os eventos.
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos verificar se os eventos são independentes usando a definição que mencionamos no Passo 1.
Calculamos anteriormente:
Vamos conferir se:
Multiplicando
e
:
E vimos que:
Os valores são praticamente iguais (a pequena diferença é por causa do arredondamento), o que confirma a independência.
Resposta
Sim, os eventos I e II são independentes porque
.