A corrente elétrica (em mA ) num determinado circuito conforme medido por um amperímetro é modelada como uma variável aleatória contínua X com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=0,075 x+0,2 ; 3 <= x <= 5
c) Qual o valor médio de X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a corrente elétrica, que é representada pela variável aleatória contínua . A função densidade de probabilidade de é dada por no intervalo de a mA. A gente precisa encontrar o valor médio de , que é basicamente a média dessa corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor médio (ou esperança matemática) de uma variável aleatória contínua é calculado usando a fórmula:
E[X] = integrala^b x cdot f(x) , dx
Aqui, e , que são os limites do nosso intervalo. A função já está dada, então vamos multiplicar por e integrar de a .

Passo 3

Vamos montar a integral:
E[X] = integral3^5 x cdot (0,075x + 0,2) , dx
Primeiro, vamos distribuir E[X] = integral3^5 (0,075x^2 + 0,2x) , dx dentro dos parênteses:
Agora, vamos integrar termo a termo.

Passo 4

Integrando cada termo:
integral 0,075x^2 , dx = 0,075 cdot x^33 = 0,025x^3
integral 0,2x , dx = 0,2 cdot x^22 = 0,1x^2
Então, a integral completa fica:
E[X] = [0,025x^3 + 0,1x^2]3^5

Passo 5

Agora, vamos calcular substituindo os limites de integração.
Para 0,025(5)^3 + 0,1(5)^2 = 0,025 cdot 125 + 0,1 cdot 25 = 3,125 + 2,5 = 5,625 :
0,025(3)^3 + 0,1(3)^2 = 0,025 cdot 27 + 0,1 cdot 9 = 0,675 + 0,9 = 1,575
Para 5,625 - 1,575 = 4,05 :
Subtraindo o valor de do valor de :

Resposta

O valor médio de é 4,05 mA.

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