Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a) é um espaço vetorial real?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos , que é o conjunto de todas as funções que vão dos números reais para os números complexos . A pergunta é: esse conjunto forma um espaço vetorial real? Ou seja, será que podemos tratar esse conjunto como um espaço vetorial sobre o campo dos números reais?

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial real. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto que satisfaz certas propriedades, como:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar duas funções desse conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se você multiplicar uma função por um número real, o resultado ainda está no conjunto.
  3. Existência do elemento nulo: Existe uma função que, ao ser somada com qualquer outra função, não a altera.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada função, existe outra que, somada a ela, resulta no elemento nulo.
  5. Associatividade e comutatividade da adição.
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores e à adição de escalares.
Vamos verificar se satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Fechamento sob adição: Se e são funções em , então a função definida por também mapeia para . Logo, está em .
Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se está em e é um número real, então a função definida por também mapeia para . Assim, está em .

Passo 4

Elemento nulo: A função que mapeia todo para é o elemento nulo nesse espaço. Ou seja, existe uma função tal que para qualquer função , .
Inversos aditivos: Para cada função em , existe uma função definida por , de modo que .

Passo 5

As demais propriedades, como associatividade e comutatividade da adição, e distributividade da multiplicação escalar, seguem diretamente das propriedades das operações em .

Passo 6

Finalmente, como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial sobre são satisfeitas por , podemos concluir que sim, esse conjunto é de fato um espaço vetorial real.

Resposta

Sim, é um espaço vetorial real.

Exercícios relacionados

Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.
A transformação linear definida por:
é um isomorfismo de em ? Se for, determine o isomorfismo inverso .
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .
Com base em seus conhecimentos adquiridos ao longo das semanas de estudo
*
aponte as principais causas da atual situação financeira pessoal do indivíduo analisado. Identifique todos os erros que ele (a) vem cometendo e que consequentemente vem comprometendo sua saúde financeira.