Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a)
é um espaço vetorial real?
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos
, que é o conjunto de todas as funções que vão dos números reais
para os números complexos
. A pergunta é: esse conjunto forma um espaço vetorial real? Ou seja, será que podemos tratar esse conjunto como um espaço vetorial sobre o campo dos números reais?
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial real. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto que satisfaz certas propriedades, como:
- Fechamento sob adição: Se você pegar duas funções desse conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
- Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se você multiplicar uma função por um número real, o resultado ainda está no conjunto.
- Existência do elemento nulo: Existe uma função que, ao ser somada com qualquer outra função, não a altera.
- Existência de inversos aditivos: Para cada função, existe outra que, somada a ela, resulta no elemento nulo.
- Associatividade e comutatividade da adição.
- Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores e à adição de escalares.
Vamos verificar se
satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Fechamento sob adição: Se
e
são funções em
, então a função
definida por
também mapeia
para
. Logo,
está em
.
Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se
está em
e
é um número real, então a função
definida por
também mapeia
para
. Assim,
está em
.
Passo 4
Elemento nulo: A função que mapeia todo
para
é o elemento nulo nesse espaço. Ou seja, existe uma função
tal que para qualquer função
,
.
Inversos aditivos: Para cada função
em
, existe uma função
definida por
, de modo que
.
Passo 5
As demais propriedades, como associatividade e comutatividade da adição, e distributividade da multiplicação escalar, seguem diretamente das propriedades das operações em
.
Passo 6
Finalmente, como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial sobre
são satisfeitas por
, podemos concluir que sim, esse conjunto é de fato um espaço vetorial real.
Resposta
Sim,
é um espaço vetorial real.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
. (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.
©
A transformação linear
definida por:
é um isomorfismo de
em
? Se for, determine o isomorfismo inverso
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Com base em seus conhecimentos adquiridos ao longo das semanas de estudo
*
aponte as principais causas da atual situação financeira pessoal do indivíduo analisado. Identifique todos os erros que ele (a) vem cometendo e que consequentemente vem comprometendo sua saúde financeira.
*
aponte as principais causas da atual situação financeira pessoal do indivíduo analisado. Identifique todos os erros que ele (a) vem cometendo e que consequentemente vem comprometendo sua saúde financeira.