Considere F(A, B)=f: A B ; f é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a) F(R, C) é um espaço vetorial real?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos F(R, C), que é o conjunto de todas as funções que vão dos números reais R para os números complexos C. A pergunta é: esse conjunto forma um espaço vetorial real? Ou seja, será que podemos tratar esse conjunto como um espaço vetorial sobre o campo dos números reais?

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial real. Um espaço vetorial sobre os reais é um conjunto que satisfaz certas propriedades, como:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar duas funções desse conjunto e somar, o resultado ainda está no conjunto.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se você multiplicar uma função por um número real, o resultado ainda está no conjunto.
  3. Existência do elemento nulo: Existe uma função que, ao ser somada com qualquer outra função, não a altera.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada função, existe outra que, somada a ela, resulta no elemento nulo.
  5. Associatividade e comutatividade da adição.
  6. Distributividade da multiplicação escalar em relação à adição de vetores e à adição de escalares.
Vamos verificar se F(R, C) satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Fechamento sob adição: Se f e g são funções em F(R, C), então a função (f + g) definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) também mapeia R para C. Logo, f + g está em F(R, C).
Fechamento sob multiplicação por escalar real: Se f está em F(R, C) e a é um número real, então a função (a f) definida por (a f)(x) = a cdot f(x) também mapeia R para C. Assim, a f está em F(R, C).

Passo 4

Elemento nulo: A função que mapeia todo x in R para 0 in C é o elemento nulo nesse espaço. Ou seja, existe uma função 0 tal que para qualquer função f, f + 0 = f.
Inversos aditivos: Para cada função f em F(R, C), existe uma função -f definida por (-f)(x) = -f(x), de modo que f + (-f) = 0.

Passo 5

As demais propriedades, como associatividade e comutatividade da adição, e distributividade da multiplicação escalar, seguem diretamente das propriedades das operações em C.

Passo 6

Finalmente, como todas as propriedades necessárias para um espaço vetorial sobre R são satisfeitas por F(R, C), podemos concluir que sim, esse conjunto é de fato um espaço vetorial real.

Resposta

Sim, F(R, C) é um espaço vetorial real.

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