A transformação linear definida por:
é um isomorfismo de em ? Se for, determine o isomorfismo inverso .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
A pergunta é: essa transformação é um isomorfismo? E se for, como encontramos o inverso ? Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Se for um isomorfismo, isso significa que cada vetor em corresponde a um único polinômio em e vice-versa.

Passo 3

Para verificar se é um isomorfismo, vamos representar como uma matriz. Cada componente de corresponde aos coeficientes dos polinômios. Então, podemos escrever a transformação linear na forma matricial:
A matriz associada a é:

Passo 4

Para saber se é um isomorfismo, precisamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero ( ), a matriz é invertível.

Passo 5

Já que a matriz é invertível, a transformação é de fato um isomorfismo. Agora, precisamos encontrar o inverso . Para isso, vamos encontrar a matriz inversa e então expressar usando .

Passo 6

Para encontrar , usamos a fórmula para a matriz inversa de uma matriz 3x3. No entanto, para simplificar, podemos usar métodos como a regra de Sarrus ou a matriz adjunta. Vou pular os cálculos intermediários e apresentar diretamente a matriz inversa:

Passo 7

Agora que temos , podemos definir a transformação inversa . Se mapeia para um polinômio, então irá mapear os coeficientes desse polinômio de volta para . Usando a matriz inversa, temos:
Substituindo :
Fazendo a multiplicação:
Portanto, , onde , e são definidos acima.

Resposta

Sim, é um isomorfismo de em . O isomorfismo inverso está definido por:

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Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço do espaço vetorial . Determine então a dimensão de .
(a) .
Considere o operador linear sabendo que
é inversível? Em caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso.
Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a) é um espaço vetorial real?