é um isomorfismo de em ? Se for, determine o isomorfismo inverso .
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por:
A pergunta é: essa transformação é um isomorfismo? E se for, como encontramos o inverso ? Para resolver isso, vamos precisar saber sobre transformações lineares, isomorfismos e como encontrar matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Em álgebra linear, um isomorfismo é uma transformação linear que é bijetora, ou seja, é injetora e sobrejetora. Se for um isomorfismo, isso significa que cada vetor em corresponde a um único polinômio em e vice-versa.
Passo 3
Para verificar se é um isomorfismo, vamos representar como uma matriz. Cada componente de corresponde aos coeficientes dos polinômios. Então, podemos escrever a transformação linear na forma matricial:
A matriz associada a é:
Passo 4
Para saber se det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) - (-1) cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 0) é um isomorfismo, precisamos verificar se a matriz det(A) = 1 cdot (-1) - (-1) cdot (-1) + 0 cdot (-1) é invertível. Uma matriz é invertível se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de det(A) = -1 - 1 + 0 = -2 :
Como o determinante é diferente de zero (), a matriz é invertível.
Passo 5
Já que a matriz é invertível, a transformação é de fato um isomorfismo. Agora, precisamos encontrar o inverso . Para isso, vamos encontrar a matriz inversa e então expressar usando .
Passo 6
Para encontrar A^-1 = 1-2 1 & 1 & -1 1 & 0 & 1 1 & -1 & 1 , usamos a fórmula para a matriz inversa de uma matriz 3x3. No entanto, para simplificar, podemos usar métodos como a regra de Sarrus ou a matriz adjunta. Vou pular os cálculos intermediários e apresentar diretamente a matriz inversa:
Agora que temos T^-1(d + e x + f x^2) = A^-1 d e f , podemos definir a transformação inversa T^-1(d + e x + f x^2) = -0.5 & -0.5 & 0.5 -0.5 & 0 & -0.5 -0.5 & 0.5 & -0.5 d e f . Se a = -0.5d - 0.5e + 0.5f mapeia b = -0.5d - 0.5f para um polinômio, então c = -0.5d + 0.5e - 0.5f irá mapear os coeficientes desse polinômio de volta para . Usando a matriz inversa, temos:
Substituindo :
Fazendo a multiplicação:
Portanto, , onde , e são definidos acima.
Resposta
Sim, T^-1(d + e x + f x^2) = ( -12d - 12e + 12f, -12d - 12f, -12d + 12e - 12f ) é um isomorfismo de em . O isomorfismo inverso está definido por: