Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre . (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© , com as operações usuais de funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todas as funções que satisfazem a condição para todo em . Isso significa que estamos lidando com funções pares. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto , com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais . Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial, que exige que certas propriedades sejam satisfeitas.

Passo 2

Vamos começar verificando se é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções e em , a função também deve estar em .
Sabemos que:
Como e são funções pares, temos:
Portanto:
Assim, também é uma função par, ou seja, . Portanto, é fechado sob a adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma função em e um escalar em , a função também deve estar em .
Sabemos que:
Como é uma função par:
Portanto:
Assim, também é uma função par, ou seja, . Portanto, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 4

Além da fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar se satisfaz as demais propriedades de um espaço vetorial, como a existência de um elemento nulo, existência de inversos aditivos, associatividade, comutatividade da adição, etc. No entanto, como é um subconjunto de um espaço vetorial conhecido (o espaço das funções de para ), e já verificamos o fechamento sob as operações principais, podemos concluir que também satisfaz todas as outras propriedades necessárias.

Resposta

Sim, o conjunto é um espaço vetorial sobre .

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(a) .
Considere é função , munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
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dada por .