Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
. (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
©
, com as operações usuais de funções.
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
que consiste em todas as funções
que satisfazem a condição
para todo
em
. Isso significa que estamos lidando com funções pares. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto
, com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial, que exige que certas propriedades sejam satisfeitas.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
em
, a função
também deve estar em
.
Sabemos que:
Como
e
são funções pares, temos:
Portanto:
Assim,
também é uma função par, ou seja,
. Portanto,
é fechado sob a adição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma função
em
e um escalar
em
, a função
também deve estar em
.
Sabemos que:
Como
é uma função par:
Portanto:
Assim,
também é uma função par, ou seja,
. Portanto,
é fechado sob a multiplicação por escalar.
Passo 4
Além da fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar se
satisfaz as demais propriedades de um espaço vetorial, como a existência de um elemento nulo, existência de inversos aditivos, associatividade, comutatividade da adição, etc. No entanto, como
é um subconjunto de um espaço vetorial conhecido (o espaço das funções de
para
), e já verificamos o fechamento sob as operações principais, podemos concluir que
também satisfaz todas as outras propriedades necessárias.
Resposta
Sim, o conjunto
é um espaço vetorial sobre
.
Exercícios relacionados
A transformação linear
definida por:
é um isomorfismo de
em
? Se for, determine o isomorfismo inverso
.
17
Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito que gera o subespaço
do espaço vetorial
. Determine então a dimensão de
.
(a) .
Em cada um dos itens abaixo encontre um conjunto finito
(a)
Considere
é função
, munido das operações usuais de funções (como apresentadas em aula).
(a) é um espaço vetorial real?
(a)
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.