Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R. (Este exercício deve ser resolvido com a definição de espaço vetorial)
© V=f: R R: f(x)=f(-x), forall x in R, com as operações usuais de funções.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto que consiste em todas as funções que satisfazem a condição para todo em . Isso significa que estamos lidando com funções pares. Nosso objetivo é verificar se esse conjunto , com as operações usuais de adição de funções e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais . Para isso, vamos usar a definição de espaço vetorial, que exige que certas propriedades sejam satisfeitas.

Passo 2

Vamos começar verificando se (f + g)(x) = f(x) + g(x) é fechado sob a adição de funções. Isso significa que se pegarmos duas funções f(x) = f(-x) e g(x) = g(-x) e (f + g)(x) = f(x) + g(x) = f(-x) + g(-x) = (f + g)(-x) em , a função também deve estar em .
Sabemos que:
Como e são funções pares, temos:
Portanto:
Assim, também é uma função par, ou seja, . Portanto, é fechado sob a adição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se (c cdot f)(x) = c cdot f(x) é fechado sob a multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos uma função f(x) = f(-x) em (c cdot f)(x) = c cdot f(x) = c cdot f(-x) = (c cdot f)(-x) e um escalar em , a função também deve estar em .
Sabemos que:
Como é uma função par:
Portanto:
Assim, também é uma função par, ou seja, . Portanto, é fechado sob a multiplicação por escalar.

Passo 4

Além da fechamento sob adição e multiplicação por escalar, precisamos verificar se satisfaz as demais propriedades de um espaço vetorial, como a existência de um elemento nulo, existência de inversos aditivos, associatividade, comutatividade da adição, etc. No entanto, como é um subconjunto de um espaço vetorial conhecido (o espaço das funções de para ), e já verificamos o fechamento sob as operações principais, podemos concluir que também satisfaz todas as outras propriedades necessárias.

Resposta

Sim, o conjunto é um espaço vetorial sobre .

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