(a) Expresse em termos da função degrau.
(b) Calcule a transformada de Laplace .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função que é definida de três maneiras diferentes em três intervalos de tempo distintos. Precisamos:
a) Expressar usando a função degrau (também conhecida como função de Heaviside).
b) Calcular a transformada de Laplace de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a função degrau e como aplicar a transformada de Laplace em funções que mudam de forma ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Expressar em termos da função degrau.
A função degrau de Heaviside, denotada por , é uma função que vale 0 para e 1 para . Ela é super útil para “ligar” ou “desligar” partes de uma função em pontos específicos.
Nosso é definido assim:
Vamos decompor isso usando as funções degrau:
Primeiro intervalo ():
Aqui, . Para manter essa parte ativa a partir de , usamos :
Segundo intervalo ():
Queremos que seja desligado em e seja ligado. Para desligar , subtraímos . Para ligar , adicionamos :
Terceiro intervalo ():
Agora, queremos desligar em e ligar . Assim, subtraímos e adicionamos :
Juntando tudo, temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão agrupando termos semelhantes:
Essa é a expressão de em termos da função degrau!
Passo 4
Vamos para a parte (b): Calcular a transformada de Laplace de .
A transformada de Laplace, denotada por , é uma ferramenta que transforma funções do domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações diferenciais, por exemplo.
Para funções que envolvem a função degrau, usamos a propriedade de deslocamento, que diz:
Onde é a transformada de .
Vamos aplicar isso a cada termo de :
Primeiro termo:
Transformada de :
Transformada de :
Usando a propriedade de deslocamento:
Então, a transformada do primeiro termo é:
Segundo termo:
Transformada de :
Transformada de :
Então, a transformada do segundo termo é:
Terceiro termo:
Transformada de :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as partes transformadas: