Resolva o seguinte problema de valor inicial
y'' + y' = u1(t) + delta(t-2), y(0) = 0, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente resolvendo EDOs lineares com funções do lado direito envolvendo a função degrau e a função delta de Dirac . Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é e . Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos de :
Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, podemos escrever:
Agora, dividimos cada termo dentro do parêntese pelo denominador:

Passo 6

Vamos separar em três partes para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Vamos resolver cada uma separadamente.

Passo 7

Para a primeira parte , fazemos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para A, B e C, encontramos , , e . Então:
Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Então:

Passo 8

Para a segunda parte , usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, que nos diz que:
Aqui, e .
Já sabemos que , então:

Passo 9

Para a terceira parte , já sabemos que:

Passo 10

Agora, juntando todas as partes, a solução é:
Simplificando:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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