Resolva o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente resolvendo EDOs lineares com funções do lado direito envolvendo a função degrau
e a função delta de Dirac
. Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é
e
. Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos de
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, podemos escrever:
Agora, dividimos cada termo dentro do parêntese pelo denominador:
Passo 6
Vamos separar em três partes para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Para a primeira parte
, fazemos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para A, B e C, encontramos
,
, e
. Então:
Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Então:
Passo 8
Para a segunda parte
, usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, que nos diz que:
Aqui,
e
.
Já sabemos que
, então:
Passo 9
Para a terceira parte
, já sabemos que:
Passo 10
Agora, juntando todas as partes, a solução
é:
Simplificando:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: