Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs), especificamente resolvendo EDOs lineares com funções do lado direito envolvendo a função degrau e a função delta de Dirac . Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada é e . Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores das condições iniciais e na equação:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agrupar os termos de :
Agora, isolamos :
Passo 5
Vamos decompor a fração para facilitar a aplicação da Transformada Inversa de Laplace. Primeiro, simplificamos o denominador:
Então, podemos escrever:
Agora, dividimos cada termo dentro do parêntese pelo denominador:
Passo 6
Vamos separar em três partes para facilitar a Transformada Inversa de Laplace:
Vamos resolver cada uma separadamente.
Passo 7
Para a primeira parte , fazemos frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para A, B e C, encontramos , , e . Então:
Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Então:
Passo 8
Para a segunda parte , usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace, que nos diz que: