Resolva o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Pra isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para resolver para
, que é a transformada de
. Depois, a gente faz a transformada inversa pra achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Usamos a linearidade da transformada para separar:
Passo 3
Agora, aplicamos as fórmulas das transformadas para derivadas:
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Juntando os termos de
:
Passo 5
Agora, precisamos da Transformada de . Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Mas para simplificar, vamos isolar
:
Passo 7
Agora, vamos decompor
para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Observamos que o denominador
pode ser completado:
Então, reescrevemos
:
Passo 8
Aplicando a Transformada Inversa termo a termo:
-
corresponde a -
corresponde a -
corresponde a
Passo 9
Juntando tudo, temos a solução
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: