Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Pra isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para resolver para , que é a transformada de . Depois, a gente faz a transformada inversa pra achar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Usamos a linearidade da transformada para separar:
Passo 3
Agora, aplicamos as fórmulas das transformadas para derivadas:
Sabendo que e , substituímos:
Passo 4
Simplificando a equação:
Juntando os termos de :
Passo 5
Agora, precisamos da Transformada de . Sabemos que:
Aqui, e , então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:
Mas para simplificar, vamos isolar :
Passo 7
Agora, vamos decompor para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Observamos que o denominador pode ser completado: