Resolva o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 13y = e^(-2t) sen(3t), y(0) = 1, y'(0) = 2
usando a transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de valor inicial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. Pra isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas duas partes da equação e usar as propriedades das transformadas para resolver para , que é a transformada de . Depois, a gente faz a transformada inversa pra achar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial:
Usamos a linearidade da transformada para separar:

Passo 3

Agora, aplicamos as fórmulas das transformadas para derivadas:
Sabendo que e , substituímos:

Passo 4

Simplificando a equação:
Juntando os termos de :

Passo 5

Agora, precisamos da Transformada de . Sabemos que:
Aqui, e , então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:
Mas para simplificar, vamos isolar :

Passo 7

Agora, vamos decompor para facilitar a aplicação da Transformada Inversa. Observamos que o denominador pode ser completado:
Então, reescrevemos :

Passo 8

Aplicando a Transformada Inversa termo a termo:
  1. corresponde a
  2. corresponde a
  3. corresponde a

Passo 9

Juntando tudo, temos a solução :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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