Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Função Gama, que é definida pela integral imprópria:
A matéria aqui envolve cálculo integral e funções especiais. Para resolver os itens, vamos precisar entender como manipular integrais e aplicar propriedades da função gama.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a): mostrar que para .
A ideia é usar integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é:
Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e :
(porque a integral de é )
Aplicando a integração por partes:
Observando os limites:
Quando t to infty, t^p e^-t to 0 (pois o e^-t decai mais rápido que qualquer potência de t cresce)
Quando t = 0, t^p e^-t = 0 (pois t^p = 0 para p > 0)
Portanto, a expressão fica:
Gamma(p+1) = 0 - 0 + p Gamma(p) Rightarrow Gamma(p+1) = p Gamma(p)
Passo 3
Agora, vamos para o item (b): mostrar que Gamma(n+1) = n! para n in 1, 2, 3, ldots.
Já sabemos de (a) que Gamma(p+1) = p Gamma(p). Vamos aplicar isso de forma iterativa para valores inteiros positivos de n.