Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Função Gama, que é definida pela integral imprópria:
A matéria aqui envolve cálculo integral e funções especiais. Para resolver os itens, vamos precisar entender como manipular integrais e aplicar propriedades da função gama.
Passo 2
Vamos começar pelo item (a): mostrar que para .
A ideia é usar integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é:
Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e :
(porque a integral de é )
Aplicando a integração por partes:
Observando os limites:
Quando , (pois o decai mais rápido que qualquer potência de cresce)
Quando , (pois para )
Portanto, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos para o item (b): mostrar que para .
Já sabemos de (a) que . Vamos aplicar isso de forma iterativa para valores inteiros positivos de .
Começando com :
Sabemos que , então:
Agora, para :
Continuando dessa forma, vemos que para qualquer :