(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que , pawa .
(b) Mostre que !, pa
© Seja . Mostre que , para .
(d) Usando o fato de que , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Função Gama, que é definida pela integral imprópria:
A matéria aqui envolve cálculo integral e funções especiais. Para resolver os itens, vamos precisar entender como manipular integrais e aplicar propriedades da função gama.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): mostrar que para .
A ideia é usar integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é:
Escolhemos e . Então, precisamos encontrar e :
  • (porque a integral de é )
Aplicando a integração por partes:
Observando os limites:
  • Quando , (pois o decai mais rápido que qualquer potência de cresce)
  • Quando , (pois para )
Portanto, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): mostrar que para .
Já sabemos de (a) que . Vamos aplicar isso de forma iterativa para valores inteiros positivos de .
Começando com :
Sabemos que , então:
Agora, para :
Continuando dessa forma, vemos que para qualquer :

Passo 4

Vamos para o item ©: mostrar que para , a transformada de Laplace de é , para .
A transformada de Laplace de uma função é definida por:
Aqui, . Então:
Fazendo uma substituição , temos . Assim:
Reconhecemos a integral como a definição da função gama:
Portanto:

Passo 5

Finalmente, o item (d): usar o fato de que para mostrar que .
Usando o resultado de ©, com :
Sabemos que . Então:
Substituindo de volta:

Resposta

A transformada de Laplace de é .

Exercícios relacionados

Seja uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de at é
e a de at é
mostre que a transformada de Laplace de at é
Resolva o problema de valor inicial
para uma função arbitrária.
Resolva o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace.
Considere
(a) Expresse em termos da função degrau.
(b) Calcule a transformada de Laplace .