(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
Gamma(p)=integral0^infty t^p-1 e^-t d t, para p>0
(a) Mostre que Gamma(p+1)=p Gamma(p), pawa p>0.
(b) Mostre que Gamma(n+1)=n !, pa K1,2,3, ldots
© Seja p>0. Mostre que L(t^p)(s)=Gamma(p+1)s^p+1, para s>0.
(d) Usando o fato de que Gamma(12)=raizpi, mostre que L(t^1 / 2)(s)=raizpi2 s^3 / 2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está trabalhando com a Função Gama, que é definida pela integral imprópria:
Gamma(p) = integral0^infty t^p-1 e^-t dt, para p > 0
A matéria aqui envolve cálculo integral e funções especiais. Para resolver os itens, vamos precisar entender como manipular integrais e aplicar propriedades da função gama.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): mostrar que Gamma(p+1) = p Gamma(p) para p > 0.
A ideia é usar integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos u = t^p e dv = e^-t dt. Então, precisamos encontrar du e v:
  • du = p t^p-1 dt
  • v = -e^-t (porque a integral de e^-t dt é -e^-t)
Aplicando a integração por partes:
Gamma(p+1) = integral0^infty t^p e^-t dt = -t^p e^-t |0^infty + p integral0^infty t^p-1 e^-t dt
Observando os limites:
  • Quando t to infty, t^p e^-t to 0 (pois o e^-t decai mais rápido que qualquer potência de t cresce)
  • Quando t = 0, t^p e^-t = 0 (pois t^p = 0 para p > 0)
Portanto, a expressão fica:
Gamma(p+1) = 0 - 0 + p Gamma(p) Rightarrow Gamma(p+1) = p Gamma(p)

Passo 3

Agora, vamos para o item (b): mostrar que Gamma(n+1) = n! para n in 1, 2, 3, ldots.
Já sabemos de (a) que Gamma(p+1) = p Gamma(p). Vamos aplicar isso de forma iterativa para valores inteiros positivos de n.
Começando com n = 1:
Gamma(1+1) = 1 cdot Gamma(1) Rightarrow Gamma(2) = 1 cdot Gamma(1)
Sabemos que Gamma(1) = integral0^infty e^-t dt = 1, então:
Gamma(2) = 1 cdot 1 = 1 = 1!
Agora, para n = 2:
Gamma(2+1) = 2 cdot Gamma(2) Rightarrow Gamma(3) = 2 cdot 1 = 2 = 2!
Continuando dessa forma, vemos que para qualquer n in 1, 2, 3, ldots:
Gamma(n+1) = n cdot (n-1)! = n!

Passo 4

Vamos para o item ©: mostrar que para p > 0, a transformada de Laplace de t^p é Gamma(p+1)s^p+1, para s > 0.
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Lf(t)(s) = integral0^infty e^-s t f(t) dt
Aqui, f(t) = t^p. Então:
Lt^p(s) = integral0^infty e^-s t t^p dt
Fazendo uma substituição u = s t, temos du = s dt Rightarrow dt = dus. Assim:
Lt^p(s) = integral0^infty e^-u (us)^p dus = 1s^p+1 integral0^infty u^p e^-u du
Reconhecemos a integral como a definição da função gama:
integral0^infty u^p e^-u du = Gamma(p+1)
Portanto:
Lt^p(s) = Gamma(p+1)s^p+1

Passo 5

Finalmente, o item (d): usar o fato de que Gamma(12) = raizpi para mostrar que L(t^1/2)(s) = raizpi2 s^3/2.
Usando o resultado de ©, com p = 12:
L(t^1/2)(s) = Gamma(12+1)s^12+1 = Gamma(32)s^32
Sabemos que Gamma(32) = 12 Gamma(12). Então:
Gamma(32) = 12 raizpi
Substituindo de volta:
L(t^1/2)(s) = 12 raizpis^32 = raizpi2 s^3/2

Resposta

A transformada de Laplace de t^1/2 é raizpi2 s^3/2.

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