Calcule o limite, se existir.
h) lim x 0 tanh a xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de tanh(a x)x quando x se aproxima de 0. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tanh se comporta próximo de 0 e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função tanh(x). A tangente hiperbólica é definida por:
tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x
Ela é uma função que se parece um pouco com a função tangente, mas está relacionada às funções hiperbólicas, que têm aplicações em várias áreas, como engenharia e física.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de tanh(a x)x quando x tende a 0. Escrever isso matematicamente:
limx to 0 tanh(a x)x
Perceba que, quando x se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, o que nos dá uma forma indeterminada 00. Nesses casos, podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma 00 ou inftyinfty, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Aplicando isso, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de tanh(a x) em relação a x:
    ddx tanh(a x) = a cdot sech^2(a x)
    Aqui, usamos que a derivada de tanh(u) em relação a u é sech^2(u), e aplicamos a regra da cadeia.
  • Derivada de x em relação a x:
    ddx x = 1

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite original:
limx to 0 tanh(a x)x = limx to 0 a cdot sech^2(a x)1 = a cdot limx to 0 sech^2(a x)
Sabemos que sech(0) = 1, pois:
sech(x) = 1cosh(x) e cosh(0) = 1
Portanto:
limx to 0 sech^2(a x) = sech^2(0) = 1

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
limx to 0 tanh(a x)x = a cdot 1 = a

Resposta

O limite é igual a a.

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