Calcule o limite, se existir.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta próximo de
e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função
. A tangente hiperbólica é definida por:
Ela é uma função que se parece um pouco com a função tangente, mas está relacionada às funções hiperbólicas, que têm aplicações em várias áreas, como engenharia e física.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de
quando
tende a
. Escrever isso matematicamente:
Perceba que, quando
se aproxima de
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a
, o que nos dá uma forma indeterminada
. Nesses casos, podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Aplicando isso, vamos derivar o numerador e o denominador:
-
Derivada de
em relação a : Aqui, usamos que a derivada deem relação a é , e aplicamos a regra da cadeia. -
Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite original:
Sabemos que
, pois:
Portanto:
Passo 6
Substituindo de volta, temos:
Resposta
O limite é igual a
.