Calcule o limite, se existir.
h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo de e aplicar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função . A tangente hiperbólica é definida por:
Ela é uma função que se parece um pouco com a função tangente, mas está relacionada às funções hiperbólicas, que têm aplicações em várias áreas, como engenharia e física.

Passo 3

Agora, queremos encontrar o limite de quando tende a . Escrever isso matematicamente:
Perceba que, quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a , o que nos dá uma forma indeterminada . Nesses casos, podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 4

A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Aplicando isso, vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de em relação a :
    Aqui, usamos que a derivada de em relação a é , e aplicamos a regra da cadeia.
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite original:
Sabemos que , pois:
Portanto:

Passo 6

Substituindo de volta, temos:

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Considere
e a função dada por .
Ache uma expressão para similar àquela para .
Considere
e a função dada por .
Onde é derivável? Onde é derivável.
Calcule o limite, se existir.
n)
Calcule o limite, se existir.
p)