Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite de quando se aproxima de . Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta próximo de e aplicar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a função . A tangente hiperbólica é definida por:
Ela é uma função que se parece um pouco com a função tangente, mas está relacionada às funções hiperbólicas, que têm aplicações em várias áreas, como engenharia e física.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o limite de quando tende a . Escrever isso matematicamente:
Perceba que, quando se aproxima de , tanto o numerador quanto o denominador tendem a , o que nos dá uma forma indeterminada . Nesses casos, podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 4
A Regra de L’Hôpital diz que se temos um limite da forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Aplicando isso, vamos derivar o numerador e o denominador:
Derivada de em relação a :
Aqui, usamos que a derivada de em relação a é , e aplicamos a regra da cadeia.
Derivada de em relação a :
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite original: