Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f^prime(x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem a função e precisa encontrar . Isso envolve derivadas de séries infinitas, então vamos precisar saber sobre derivação de séries e convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função que é representada por uma série infinita pode ser obtida derivando termo a termo, desde que a série seja convergente em algum intervalo. Isso significa que podemos derivar cada termo da soma individualmente.

Passo 3

Vamos derivar f'(x) = ddx ( sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2 ) = sumn=0^infty ddx ( x^n+1(n+1)^2 ) termo a termo:
f'(x) = sumn=0^infty (n+1)x^n(n+1)^2 = sumn=0^infty x^nn+1
A derivada de é , então:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar f''(x) = ddx ( sumn=0^infty x^nn+1 ) = sumn=0^infty ddx ( x^nn+1 ) , que significa a derivada de f''(x) = sumn=0^infty n x^n-1n+1 . Vamos derivar novamente a série que encontramos:
A derivada de é , então:

Passo 5

Para simplificar, vamos ajustar o índice da soma substituindo f''(x) = summ=1^infty (m-1) x^m-2m por , onde :
Isso facilita a análise da série para possíveis simplificações ou reconhecimento de padrões conhecidos.

Passo 6

No entanto, essa série não se simplifica facilmente para uma expressão fechada simples. Portanto, a derivada segunda de f''(x) = sumn=0^infty n x^n-1n+1 , que é , permanece representada pela série:

Resposta

A derivada f''(x) = sumn=0^infty n x^n-1n+1 é dada por:

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