Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: f^prime(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a , ou seja, .
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos usar as regras de diferenciação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Antes de diferenciar, vamos reescrever a função para facilitar o trabalho. Podemos mudar o índice de soma de f(x) = summ=1^infty x^mm^2 para . Assim, temos:
Isso simplifica a expressão e facilita a aplicação da derivada.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da derivada termo a termo para séries de potências. Essa regra nos permite derivar cada termo da série individualmente, desde que a série converja de forma apropriada.
A derivada de f^prime(x) = summ=1^infty ddx( x^mm^2 ) = summ=1^infty m x^m-1m^2 em relação a é . Portanto, diferenciando cada termo da série, temos:

Passo 4

Simplificando a expressão obtida após a diferenciação:
f^prime(x) = summ=1^infty x^m-1m
Agora, podemos reescrever o índice de soma para que comece em f^prime(x) = sumn=0^infty x^nn+1 , substituindo por :

Resposta

A derivada de f^prime(x) = sumn=0^infty x^nn+1 é:

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