Considere
. Encontre:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar a derivada dessa função em relação a
, ou seja,
.
Aqui, estamos lidando com uma série de potências, que é uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos usar as regras de diferenciação termo a termo de séries de potências.
Passo 2
Antes de diferenciar, vamos reescrever a função para facilitar o trabalho. Podemos mudar o índice de soma de
para
. Assim, temos:
Isso simplifica a expressão e facilita a aplicação da derivada.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a regra da derivada termo a termo para séries de potências. Essa regra nos permite derivar cada termo da série individualmente, desde que a série converja de forma apropriada.
A derivada de
em relação a
é
. Portanto, diferenciando cada termo da série, temos:
Passo 4
Simplificando a expressão obtida após a diferenciação:
Agora, podemos reescrever o índice de soma para que comece em
, substituindo
por
:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Represente
na forma
. Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann
Determine as constantes
de modo que
seja analítica.
Seja
. Obter o módulo de
e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.
Considere
. Encontre: