Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por Re(z) <= 0. e -pi < Im(z) <= pi quando submetido a f(z).
Assuma f(z) = e^(z + i pi)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de números complexos que satisfazem duas condições: a parte real de é menor ou igual a zero ( ) e a parte imaginária de está entre e ( ). Nosso objetivo é ver como esse conjunto de pontos muda quando aplicamos a função . Para resolver isso, vamos usar propriedades da função exponencial no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever em termos de sua parte real e imaginária: , onde e . Então, a função fica:
Aqui, usamos a propriedade que .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que . Então, podemos reescrever como:
Isso significa que a imagem de sob tem módulo e argumento .

Passo 4

Vamos analisar o módulo e o argumento separadamente. Primeiro, o módulo :
  • Como , então estará no intervalo .
Agora, o argumento :
  • Sabemos que , então:
Então, o argumento de está entre e .

Passo 5

Agora, juntando as informações sobre o módulo e o argumento, podemos descrever a imagem de sob :
  • O módulo varia de a , formando uma região que vai do centro (0) até o círculo de raio 1.
  • O argumento varia de a , cobrindo todo o círculo uma vez.
Portanto, a imagem de é o disco unitário completo no plano complexo.

Resposta

O mapeamento do conjunto definido por e pela função resulta em todo o disco unitário no plano complexo, ou seja, .

Exercícios relacionados

Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: DC f^prime(x)
Seja f(z) = e^(2 * z + i). Obter o módulo de f(z) e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.
Considere f(x)=sumn=0^infty x^n+1(n+1)^2. Encontre: h(x)=integral0^x f(t) d t
Identifique se f(z) = 4z - 6 * z + 3 é analítica em algum domínio do plano z. Se for o caso, identifique esse domínio.