Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto de números complexos
que satisfazem duas condições: a parte real de
é menor ou igual a zero (
) e a parte imaginária de
está entre
e
(
). Nosso objetivo é ver como esse conjunto de pontos muda quando aplicamos a função
. Para resolver isso, vamos usar propriedades da função exponencial no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em termos de sua parte real e imaginária:
, onde
e
. Então, a função fica:
Aqui, usamos a propriedade que
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que
. Então, podemos reescrever
como:
Isso significa que a imagem de
sob
tem módulo
e argumento
.
Passo 4
Vamos analisar o módulo e o argumento separadamente. Primeiro, o módulo
:
- Como
, então estará no intervalo .
Agora, o argumento
:
- Sabemos que
, então:
Então, o argumento de
está entre
e
.
Passo 5
Agora, juntando as informações sobre o módulo e o argumento, podemos descrever a imagem de
sob
:
- O módulo varia de
a , formando uma região que vai do centro (0) até o círculo de raio 1. - O argumento varia de
a , cobrindo todo o círculo uma vez.
Portanto, a imagem de
é o disco unitário completo no plano complexo.
Resposta
O mapeamento do conjunto definido por
e
pela função
resulta em todo o disco unitário no plano complexo, ou seja,
.
Exercícios relacionados
Considere
. Encontre:
Seja
. Obter o módulo de
e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.
Considere
. Encontre:
Identifique se
é analítica em algum domínio do plano
. Se for o caso, identifique esse domínio.