Seja
. Obter o módulo de
e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar o módulo da função
e verificar se essa função é derivável. Para isso, vamos utilizar conceitos de funções complexas, cálculo do módulo de uma função complexa e as condições de derivabilidade segundo as equações de Cauchy-Riemann.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo de
. Sabemos que o módulo de uma função exponencial complexa
é dado por
, onde
representa a parte real de
.
No nosso caso, temos:
Vamos expressar
em termos de suas partes reais e imaginárias. Seja
, onde
e
são números reais. Então:
Substituindo na expressão de
:
A parte real de
é
. Portanto, o módulo de
é:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função
é derivável. Para isso, utilizamos as condições de Cauchy-Riemann, que são necessárias para que uma função seja holomorfa (ou seja, derivável no sentido complexo).
Primeiramente, escrevemos
na forma
:
Assim, temos:
As equações de Cauchy-Riemann exigem que:
Calculando as derivadas parciais:
Comparando as equações de Cauchy-Riemann:
Como as igualdades não são satisfeitas, concluímos que as condições de Cauchy-Riemann não são atendidas.
Resposta
O módulo de
é
. Além disso, a função
não é derivável no sentido complexo.
Exercícios relacionados
Considere
. Encontre:
Represente
na forma
. Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann
Considere
. Encontre:
Faça o mapeamento do conjunto de pontos representado pela região definida por
. e
quando submetido a
.
Assuma
Assuma