Represente
na forma
. Obtenha a regra de derivação utilizando a regra da cadeia e as equações de Cauchy Riemann
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa representar a função
na forma
, onde
e
são funções reais de
e
. Depois, vamos usar a regra da cadeia e as equações de Cauchy-Riemann para achar a derivada dessa função. Isso envolve conceitos de funções de variável complexa e cálculo complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em termos das suas partes real e imaginária. Sabemos que
, onde
e
são números reais. Agora, vamos calcular
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que, para um número complexo
, a exponencial é dada por:
Aplicando isso a
:
Passo 4
Com isso, podemos identificar as partes real e imaginária de
:
Passo 5
Agora, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que dizem que, para uma função ser diferenciável no sentido complexo, devem valer:
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Observando, vemos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas.
Passo 6
Como as equações de Cauchy-Riemann são válidas, podemos usar a regra da derivação para funções complexas. A derivada de
é dada por:
Substituindo as derivadas encontradas:
Podemos simplificar isso reorganizando os termos:
Resposta
A derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Determine as constantes
de modo que
seja analítica.
Para as séries de potências abaixo, determine os domínios de convergência correspondentes:
Considere
. Encontre:
Seja
. Obter o módulo de
e investigar se a função é derivável e se for o caso obter a sua regra de derivação.