Considere
e assinale a(s) alternativa(s) correta(s).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente quando
e quando
. O objetivo aqui é descobrir o valor de
de maneira que a função seja contínua no ponto
. Para isso, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a expressão da função quando
:
Para encontrar o limite dessa função quando
, substituímos
e
:
Passo 3
Vamos simplificar isso passo a passo. Sabemos que
e
. Substituindo esses valores na expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 4
Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para tentar simplificar a fração. Observando o numerador:
Agora, simplificando mais:
Então, o numerador fica:
Para o denominador:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Agora, substituindo as simplificações no limite:
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Vamos analisar separadamente os dois limites:
Primeiro, para o limite em
:
Multiplicamos numerador e denominador por
para racionalizar:
Portanto,
Agora, para o limite em
:
Sabemos que:
Passo 7
Agora, juntando os resultados dos dois limites:
Passo 8
Para que a função
seja contínua no ponto
, o valor de
deve ser igual ao limite que acabamos de calcular.