Considere f(x, y)=ll5 y raizx-5 y-45 raizx+453-3 x+x raizy-1 raizy & se (x, y) neq(1,9) a & se (x, y)=(1,9) e assinale a(s) alternativa(s) correta(s).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente quando e quando . O objetivo aqui é descobrir o valor de de maneira que a função seja contínua no ponto . Para isso, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão da função quando f(x, y) = 5yraizx - 5y - 45raizx + 453 - 3x + xraizy - raizy :
f(1, 9) = 5 times 9 times raiz1 - 5 times 9 - 45 times raiz1 + 453 - 3 times 1 + 1 times raiz9 - raiz9
Para encontrar o limite dessa função quando , substituímos e :

Passo 3

Vamos simplificar isso passo a passo. Sabemos que 5 times 9 times 1 - 5 times 9 - 45 times 1 + 45 = 45 - 45 - 45 + 45 = 0 e 3 - 3 times 1 + 1 times 3 - 3 = 3 - 3 + 3 - 3 = 0 . Substituindo esses valores na expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 4

Vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador para tentar simplificar a fração. Observando o numerador:
5yraizx - 5y - 45raizx + 45 = 5y(raizx - 1) - 45(raizx - 1) = (5y - 45)(raizx - 1)
Agora, simplificando mais:
5y - 45 = 5(y - 9)
Então, o numerador fica:
5(y - 9)(raizx - 1)
Para o denominador:
3 - 3x + xraizy - raizy = 3(1 - x) + raizy(x - 1) = (1 - x)(3 - raizy)
Podemos reescrever isso como:
-(x - 1)(3 - raizy)

Passo 5

Agora, substituindo as simplificações no limite:
lim(x, y) to (1, 9) 5(y - 9)(raizx - 1)-(x - 1)(3 - raizy)
Podemos reescrever isso como:
-5 lim(x, y) to (1, 9) (y - 9)(3 - raizy) cdot (raizx - 1)(x - 1)

Passo 6

Vamos analisar separadamente os dois limites:
  1. y - 93 - raizy cdot 3 + raizy3 + raizy = (y - 9)(3 + raizy)9 - y = - (3 + raizy)
  2. limy to 9 y - 93 - raizy = - (3 + raiz9) = - (3 + 3) = -6
Primeiro, para o limite em limx to 1 raizx - 1x - 1 = limx to 1 1raizx + 1 = 12 :
Multiplicamos numerador e denominador por para racionalizar:
Portanto,
Agora, para o limite em :
Sabemos que:

Passo 7

Agora, juntando os resultados dos dois limites:
-5 times (-6) times 12 = 15

Passo 8

Para que a função seja contínua no ponto , o valor de deve ser igual ao limite que acabamos de calcular.

Resposta

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