Considere a família de quádricas definidas por
i) Dado o ponto e e encontre três quádricas da família passando por .
ii) Esboce simultaneamente as três quádricas e esboce as interseções entre essas superfícies.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está relacionado com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Aqui, a gente tem uma família de quádricas dada por:
Na parte i), a gente precisa encontrar três dessas quádricas que passem pelo ponto , sabendo que , e . Para isso, vamos precisar substituir as coordenadas de na equação e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir , , na equação da quádrica. Ficará assim:
Simplificando os quadrados:

Passo 3

Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto nessa equação para encontrar os valores de que fazem a quádrica passar por esse ponto:
Ou seja:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de . Primeiramente, vamos somar as frações:
Para facilitar, vamos substituir , então a equação fica:
Encontraremos os valores de (ou ) que satisfazem essa equação.

Passo 5

Para resolver a equação, vamos encontrar um denominador comum que é . Multiplicando cada termo por esse denominador, temos:
Explicando: multiplicamos cada fração pelo denominador comum para eliminar as frações.

Passo 6

Expandindo cada termo:
Somando os três primeiros termos:
Então, a equação fica:

Passo 7

Vamos rearranjar a equação para igualar a zero:
Isso veio de mover todos os termos para o lado esquerdo:

Passo 8

Precisamos resolver a equação cúbica:
Isso pode ser feito através de métodos como fatoração por tentativa e erro ou usando a fórmula de Cardano, mas aqui vamos tentar encontrar as raízes racionais primeiro.
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não temos raízes racionais simples, então vamos usar métodos numéricos ou a fórmula geral para equações cúbicas. Para simplificar, vamos aproximar as raízes.

Passo 9

Usando métodos numéricos (como Newton-Raphson), encontramos aproximadamente três valores para :
(Dessa forma, escolhemos três valores próximos que satisfazem a equação original.)

Passo 10

Agora, vamos substituir cada valor de na equação original para encontrar as três quádricas que passam pelo ponto .
Para :
Para :
Para :

Resposta

As três quádricas da família que passam pelo ponto são:

Exercícios relacionados

Encontre a inversa das matrizes abaixo:
©
Resolva a seguinte equação homogênea:
Resolva a equação diferencial exata: