Considere a família de quádricas definidas por
i) Dado o ponto
e
e
encontre três quádricas da família passando por
.
ii) Esboce simultaneamente as três quádricas e esboce as interseções entre essas superfícies.
ii) Esboce simultaneamente as três quádricas e esboce as interseções entre essas superfícies.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou está relacionado com quádricas, que são superfícies definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Aqui, a gente tem uma família de quádricas dada por:
Na parte i), a gente precisa encontrar três dessas quádricas que passem pelo ponto
, sabendo que
,
e
. Para isso, vamos precisar substituir as coordenadas de
na equação e resolver para
.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
,
,
na equação da quádrica. Ficará assim:
Simplificando os quadrados:
Passo 3
Agora, vamos substituir as coordenadas do ponto
nessa equação para encontrar os valores de
que fazem a quádrica passar por esse ponto:
Ou seja:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
. Primeiramente, vamos somar as frações:
Para facilitar, vamos substituir
, então a equação fica:
Encontraremos os valores de
(ou
) que satisfazem essa equação.
Passo 5
Para resolver a equação, vamos encontrar um denominador comum que é
. Multiplicando cada termo por esse denominador, temos:
Explicando: multiplicamos cada fração pelo denominador comum para eliminar as frações.
Passo 6
Expandindo cada termo:
Somando os três primeiros termos:
Então, a equação fica:
Passo 7
Vamos rearranjar a equação para igualar a zero:
Isso veio de mover todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 8
Precisamos resolver a equação cúbica:
Isso pode ser feito através de métodos como fatoração por tentativa e erro ou usando a fórmula de Cardano, mas aqui vamos tentar encontrar as raízes racionais primeiro.
Testando
:
Testando
:
Testando
:
Parece que não temos raízes racionais simples, então vamos usar métodos numéricos ou a fórmula geral para equações cúbicas. Para simplificar, vamos aproximar as raízes.
Passo 9
Usando métodos numéricos (como Newton-Raphson), encontramos aproximadamente três valores para
:
(Dessa forma, escolhemos três valores próximos que satisfazem a equação original.)
Passo 10
Agora, vamos substituir cada valor de
na equação original para encontrar as três quádricas que passam pelo ponto
.
Para
:
Para
:
Para
:
Resposta
As três quádricas da família que passam pelo ponto
são:
Exercícios relacionados
Encontre a inversa das matrizes abaixo:
©
©
Resolva a seguinte equação homogênea:
Resolva a equação diferencial exata: