Resolva a equação diferencial exata:

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial exata dada por:
Vamos resolver essa equação utilizando o conceito de equações diferenciais exatas. Para isso, precisamos encontrar uma função cujas derivadas parciais correspondam aos coeficientes das diferentesials e .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam e :
Como a equação é exata, existe uma função tal que:

Passo 3

Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a integral indefinida pode ter uma constante de integração que, neste caso, pode depender de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso nos dá:

Passo 5

Integramos em relação a para encontrar :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Considere a família de quádricas definidas por
i) Dado o ponto e e encontre três quádricas da família passando por .
ii) Esboce simultaneamente as três quádricas e esboce as interseções entre essas superfícies.
Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
©
Resolva a seguinte equação homogênea: