Resolva a equação diferencial exata:
(x^2+y^2) d x+(2 x y) d y=0

Passo 1

Então, temos uma equação diferencial exata dada por:
(x^2+y^2) dx + 2xy , dy = 0
Vamos resolver essa equação utilizando o conceito de equações diferenciais exatas. Para isso, precisamos encontrar uma função cujas derivadas parciais correspondam aos coeficientes das diferentesials e .

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções que multiplicam partial Fpartial x = M(x, y) e partial Fpartial y = N(x, y) e :
Como a equação é exata, existe uma função tal que:

Passo 3

Vamos integrar F(x, y) = integral M(x, y) , dx = integral (x^2 + y^2) dx = x^33 + y^2x + h(y) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de e aparece porque a integral indefinida pode ter uma constante de integração que, neste caso, pode depender de .

Passo 4

Agora, derivamos partial Fpartial y = 2yx + h'(y) = 2xy em relação a h'(y) = 0 e igualamos a para encontrar :
Isso nos dá:

Passo 5

Integramos h(y) = C em relação a para encontrar :
Onde é uma constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^33 + y^2x = C

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