Resolva a equação diferencial exata:
Passo 1
Então, temos uma equação diferencial exata dada por:
Vamos resolver essa equação utilizando o conceito de equações diferenciais exatas. Para isso, precisamos encontrar uma função
cujas derivadas parciais correspondam aos coeficientes das diferentesials
e
.
Passo 2
Primeiro, identificamos as funções que multiplicam
e
:
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Passo 3
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
e aparece porque a integral indefinida pode ter uma constante de integração que, neste caso, pode depender de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso nos dá:
Passo 5
Integramos
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: