Encontre a inversa das matrizes abaixo:
© A=[ccc1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz . Estamos no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas inversas. Para achar a inversa, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Sem a inversa, não conseguimos “desfazer” a operação matricial, então isso é bem útil em várias aplicações!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot x^2 + 0 cdot x^2 cdot 2 + x cdot 1 cdot 2 - x cdot 1 cdot 2 - 0 cdot 1 cdot x^2 - 1 cdot x^2 cdot 2 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem ou não uma inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = (1 cdot 1 cdot x^2) + (0) + (2x) - (2x) - (0) - (2x^2) = x^2 - 2x^2 = -x^2
Calculando cada termo:
Então, o determinante de é . Como isso não é zero (desde que ), a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora que sabemos que A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2 tem inversa, vamos encontrar a matriz adjunta de 1 & x^2 2 & x^2 . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de 1 & x^2 2 & x^2 . Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de 1 & 1 2 & 2 .
Vamos denotar a matriz 0 & x 2 & x^2 como:
1 & x 2 & x^2
O cofator de cada elemento é dado por 1 & 0 2 & 2 , onde 0 & x 1 & x^2 é o menor da matriz (determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna).
Vamos calcular cada cofator:
  • 1 & x 1 & x^2
  • 1 & 0 1 & 1
  • Cof(A) = -x^2 & x^2 & 0 2x & x^2 - 2x & -2 -x & -x^2 + x & 1
Então, a matriz de cofatores é:

Passo 4

Agora, vamos transpor a matriz de cofatores para obter a matriz adjunta ( adj(A) = -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -x^2 + x 0 & -2 & 1 ):

Passo 5

Finalmente, podemos encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) usando a fórmula:
A^-1 = 1-x^2 cdot -x^2 & 2x & -x x^2 & x^2 - 2x & -x^2 + x 0 & -2 & 1 = -x^2-x^2 & 2x-x^2 & -x-x^2 x^2-x^2 & x^2 - 2x-x^2 & -x^2 + x-x^2 0-x^2 & -2-x^2 & 1-x^2
Sabemos que A^-1 = 1 & -2x & 1x -1 & 1 + 2x & 1 - 1x 0 & 2x^2 & -1x^2 , então:
Simplificando cada elemento:

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = 1 & -dfrac2x & dfrac1x -1 & 1 + dfrac2x & 1 - dfrac1x 0 & dfrac2x^2 & -dfrac1x^2 é:

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