Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz . Estamos no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas inversas. Para achar a inversa, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Sem a inversa, não conseguimos “desfazer” a operação matricial, então isso é bem útil em várias aplicações!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = 1 cdot 1 cdot x^2 + 0 cdot x^2 cdot 2 + x cdot 1 cdot 2 - x cdot 1 cdot 2 - 0 cdot 1 cdot x^2 - 1 cdot x^2 cdot 2 . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem ou não uma inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Então, o determinante de é . Como isso não é zero (desde que ), a matriz tem inversa.
Passo 3
Agora que sabemos que A = a & b & c d & e & f g & h & i = 1 & 0 & x 1 & 1 & x^2 2 & 2 & x^2 tem inversa, vamos encontrar a matriz adjunta de 1 & x^2 2 & x^2 . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de 1 & x^2 2 & x^2 . Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de 1 & 1 2 & 2 .
Vamos denotar a matriz 0 & x 2 & x^2 como:
1 & x 2 & x^2
O cofator de cada elemento é dado por 1 & 0 2 & 2 , onde 0 & x 1 & x^2 é o menor da matriz (determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna).