Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz . Estamos no campo da Álgebra Linear, especificamente trabalhando com matrizes e suas inversas. Para achar a inversa, vamos precisar calcular o determinante da matriz e a sua matriz adjunta. Sem a inversa, não conseguimos “desfazer” a operação matricial, então isso é bem útil em várias aplicações!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos ajuda a saber se a matriz tem ou não uma inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa. Para uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada termo:
Então, o determinante de é . Como isso não é zero (desde que ), a matriz tem inversa.
Passo 3
Agora que sabemos que tem inversa, vamos encontrar a matriz adjunta de . A matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores de . Primeiro, precisamos calcular os cofatores de cada elemento de .
Vamos denotar a matriz como:
O cofator de cada elemento é dado por , onde é o menor da matriz (determinante da submatriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e j-ésima coluna).
Vamos calcular cada cofator:
Então, a matriz de cofatores é:
Passo 4
Agora, vamos transpor a matriz de cofatores para obter a matriz adjunta ():
Passo 5
Finalmente, podemos encontrar a inversa da matriz usando a fórmula: