Considere um feixe de raios-X, com lambda=0,1 nm, e também um feixe de raios gamma, com lambda=1,8 times 10^-12 m. Se a radiação espalhada pelos elétrons livres é observada a 90^circ do feixe incidente: Qual energia cinética é cedida ao elétron em cada caso?

Passo 1

Vamos resolver um problema de espalhamento de radiação, especificamente o espalhamento Compton. Temos dois tipos de radiação: raios-X com comprimento de onda lambda = 0,1 nm e raios gamma com lambda = 1,8 times 10^-12 m. Queremos encontrar a energia cinética cedida a um elétron quando esses raios são espalhados a 90^circ. Para isso, vamos precisar usar a fórmula do deslocamento Compton e relacionar esse deslocamento com a energia transferida ao elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do deslocamento Compton, que nos dá a mudança no comprimento de onda devido ao espalhamento:
De
Aqui, h é a constante de Planck, me é a massa do elétron, c é a velocidade da luz, e theta é o ângulo de espalhamento. No nosso caso, theta = 90^circ.

Passo 3

Calculamos o deslocamento Compton para theta = 90^circ:
De
O valor de hme c é aproximadamente 2,43 times 10^-12 m.

Passo 4

Agora, calculamos o novo comprimento de onda lambda' após o espalhamento:
lambda' = lambda + De
Para cada tipo de radiação, substituímos o valor de lambda.

Passo 5

Para os raios-X:
lambda'X = 0,1 nm + 2,43 times 10^-12 m = 0,1 times 10^-9 m + 2,43 times 10^-12 m approx 0,100243 times 10^-9 m

Passo 6

Para os raios gamma:
lambda'gamma = 1,8 times 10^-12 m + 2,43 times 10^-12 m = 4,23 times 10^-12 m

Passo 7

Agora, vamos relacionar a variação no comprimento de onda com a energia transferida ao elétron. A energia do fóton é dada por:
E = h clambda
A energia cedida ao elétron é a diferença entre a energia inicial e a energia após o espalhamento:
K = E - E' = h clambda - h clambda'

Passo 8

Calculamos a energia cedida para os raios-X:
KX = h c0,1 times 10^-9 - h c0,100243 times 10^-9
Substituindo valores ( h = 6,626 times 10^-34 J cdot s, c = 3 times 10^8 m/s):
KX approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^80,1 times 10^-9 - 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^80,100243 times 10^-9 approx 1,986 times 10^-16 J - 1,982 times 10^-16 J approx 4 times 10^-19 J
Convertendo para electronvolts (1 eV = 1,602 times 10^-19 J):
KX approx 4 times 10^-191,602 times 10^-19 approx 2,5 eV

Passo 9

Calculamos a energia cedida para os raios gamma:
Kgamma = h c1,8 times 10^-12 - h c4,23 times 10^-12
Substituindo valores:
Kgamma approx 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^81,8 times 10^-12 - 6,626 times 10^-34 times 3 times 10^84,23 times 10^-12 approx 1,104 times 10^-13 J - 4,69 times 10^-14 J approx 6,35 times 10^-14 J
Convertendo para electronvolts:
Kgamma approx 6,35 times 10^-141,602 times 10^-19 approx 3,96 times 10^5 eV approx 396 keV

Resposta

A energia cinética cedida ao elétron é de aproximadamente 2,5 eV para os raios-X e 396 keV para os raios gamma.

Exercícios relacionados